Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 250 mm de plaque de plâtre et de 50 mm de polystyrène expansé, avec une surface de 10 m². Les faces extérieures sont à 15 °C et -11 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 15 °CT3 = -11 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 150 mm de laine minérale et 75 mm de verre sépare une pièce à 21 °C de l’air extérieur à -9 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 25 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 8 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.
L1 = 150 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 8 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -9 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à contre-courant transfère 180 kW. Le fluide chaud se refroidit de 140 à 115 °C et le fluide froid se réchauffe de 30 à 105 °C. Le coefficient global d’échange vaut 800 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 180 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 140 → 115 °CTc: 30 → 105 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
De la vapeur se condense à une température constante de 100 °C à l’extérieur des tubes d’un condenseur de surface d’échange 1,5 m² et U = 1000 W/(m²·K). L’eau de refroidissement (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entre dans les tubes à 15 °C. Trouvez la température de sortie de l’eau Tc,out.
Ts = 100 °CA = 1,5 m²U = 1000 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °C
Tc,out = °C
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 89,68 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·10) = 0,1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,035·10) = 0,1429 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 26/0,2899 = 89,68 W
Réponse
Q̇ = 89,68 W
2.Conduction thermique
Réponse: U = 0,2501 W/(m²·K)
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·8) = 0,01623 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,04·8) = 0,4688 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·8) = 0,009766 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0,005 K/W
ΣR = 0,4997 K/W
Coefficient global
U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,4997) = 0,2501 W/(m²·K)
Réponse
U = 0,2501 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 3,993 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 105 = 35 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 115 − 30 = 85 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (35 − 85)/ln(35/85) = 56,35 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 180000/(800·56,35) = 3,993 m²
Réponse
A = 3,993 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: Tc,out = 40,63 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Combiner le bilan d’énergie et l’équation de transfert
Avec ΔT₁ = Ts − Tc,in et ΔT₂ = Ts − Tc,out, la différence ΔT₁ − ΔT₂ est égale à l’élévation de température de l’eau, donc celle-ci se simplifie.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1000·1,5/(1·4180) = 0,3589
Température de sortie
ΔT₂ = ΔT₁·e−0,3589 = 85·0,6985 = 59,37 K
Tc,out = 100 − 59,37 = 40,63 °C
Réponse
Tc,out = 40,63 °C
Chaleur transférée : Q̇ = 107,1 kW.
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