Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 50 mm de béton et de 50 mm de laine minérale, avec une surface de 12 m². Les faces extérieures sont à 16 °C et 4 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 50 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 16 °CT3 = 4 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 250 mm de bois et 50 mm de laine minérale sépare une pièce à 20 °C de l’air extérieur à 5 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 20 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 20 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.
L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 20 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 5 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Dans un condenseur, de la vapeur se condense à une température constante de 100 °C à l’extérieur des tubes. L’eau de refroidissement (4 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circule dans les tubes et se réchauffe de 15 à 75 °C. Le coefficient global d’échange vaut 1000 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Ts = 100 °Cṁ = 4 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 15 → 75 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
De l’huile chaude (2 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) se refroidit de 140 à 120 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 0,5 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 15 °C. Avec U = 1500 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 140 → 120 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = 15,67 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(1,4·12) = 0,002976 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,04·12) = 0,1042 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 12/0,1071 = 112 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 112·0,002976 = 15,67 °C
Réponse
Ti = 15,67 °C
2.Conduction thermique
Réponse: Ts = 19,33 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·20) = 0,006494 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·20) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,04·20) = 0,0625 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·20) = 0,0025 K/W
ΣR = 0,145 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (20 − (5))/0,145 = 103,4 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 103,4·0,006494 = 19,33 °C
Réponse
Ts = 19,33 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 20,46 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Puissance thermique côté eau
Q̇ = 4·4,18·(75 − 15) = 1003 kW
Écarts de température aux extrémités
ΔT₁ = 100 − 15 = 85 K
ΔT₂ = 100 − 75 = 25 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85 − 25)/ln(85/25) = 49,03 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 1,003 × 10⁶/(1000·49,03) = 20,46 m²
Réponse
A = 20,46 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 0,5923 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,1·20 = 84 kW
Tc,out = 15 + 84/(0,5·4,18) = 55,19 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 55,19 = 84,81 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 120 − 15 = 105 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (84,81 − 105)/ln(84,81/105) = 94,55 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 84000/(1500·94,55) = 0,5923 m²
Réponse
A = 0,5923 m²
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