Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 150 mm de brique et de 75 mm de polystyrène expansé, avec une surface de 8 m². Les faces extérieures sont à 17 °C et -15 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 150 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 17 °CT3 = -15 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 50 mm de plaque de plâtre et 150 mm de brique sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à 0 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 25 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 6 m². Trouvez la perte de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 6 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 0 °C
Q̇ = W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à contre-courant transfère 420 kW. Le fluide chaud se refroidit de 170 à 105 °C et le fluide froid se réchauffe de 20 à 120 °C. Le coefficient global d’échange vaut 300 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 420 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 170 → 105 °CTc: 20 → 120 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
De l’huile chaude (0,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) se refroidit de 105 à 40 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 1 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 20 °C. Avec U = 1000 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 105 → 40 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 108,9 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,72·8) = 0,02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,035·8) = 0,2679 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 32/0,2939 = 108,9 W
Réponse
Q̇ = 108,9 W
2.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 196,3 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·6) = 0,02165 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·6) = 0,04902 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,72·6) = 0,03472 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·6) = 0,006667 K/W
ΣR = 0,1121 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (22 − (0))/0,1121 = 196,3 W
Réponse
Q̇ = 196,3 W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 21,23 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 170 − 120 = 50 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 105 − 20 = 85 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (50 − 85)/ln(50/85) = 65,96 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 420000/(300·65,96) = 21,23 m²
Réponse
A = 21,23 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 2,117 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,5·65 = 81,25 kW
Tc,out = 20 + 81,25/(1·4,18) = 39,44 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 39,44 = 65,56 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 40 − 20 = 20 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (65,56 − 20)/ln(65,56/20) = 38,38 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 81250/(1000·38,38) = 2,117 m²
Réponse
A = 2,117 m²
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