Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 200 mm de verre et de 75 mm de plaque de plâtre, avec une surface de 10 m². Les faces extérieures sont à 18 °C et -6 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 200 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 18 °CT3 = -6 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 200 mm de verre et 75 mm de brique sépare une pièce à 21 °C de l’air extérieur à 3 °C. Les coefficients de convection valent 8 W/(m²·K) à l’intérieur et 20 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 6 m². Trouvez la perte de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 200 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 6 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 3 °C
Q̇ = W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à faisceau tubulaire et calandre (une passe côté calandre, deux passes côté tubes) doit transférer 800 kW. Le fluide chaud se refroidit de 110 à 45 °C et le fluide froid se réchauffe de 25 à 75 °C. Le facteur de correction de la DTLM pour cette configuration vaut F = 0,85, et U = 800 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 800 kWF = 0,85U = 800 W/(m²·K)Th: 110 → 45 °CTc: 25 → 75 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
De l’huile chaude (1 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) se refroidit de 160 à 120 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 2 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 20 °C. Avec U = 300 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 160 → 120 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 369,5 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,96·10) = 0,02083 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·10) = 0,04412 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 24/0,06495 = 369,5 W
Réponse
Q̇ = 369,5 W
2.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 221,5 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·6) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,96·6) = 0,03472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·6) = 0,01736 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·6) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,08125 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (21 − (3))/0,08125 = 221,5 W
Réponse
Q̇ = 221,5 W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 43,89 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écarts de température aux extrémités (contre-courant)
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 75 = 35 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 25 = 20 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (35 − 20)/ln(35/20) = 26,8 K
Surface
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 800000/(800·0,85·26,8) = 43,89 m²
Réponse
A = 43,89 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 2,449 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,1·40 = 84 kW
Tc,out = 20 + 84/(2·4,18) = 30,05 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 30,05 = 130 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 120 − 20 = 100 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (130 − 100)/ln(130/100) = 114,3 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 84000/(300·114,3) = 2,449 m²
Réponse
A = 2,449 m²
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