Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 100 mm de polystyrène expansé et de 150 mm de verre, avec une surface de 8 m². Les faces extérieures sont à 21 °C et -13 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 21 °CT3 = -13 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 100 mm de plaque de plâtre et 75 mm de polystyrène expansé sépare une pièce à 21 °C de l’air extérieur à -13 °C. Les coefficients de convection valent 10 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 15 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 15 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -13 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Dans un condenseur, de la vapeur se condense à une température constante de 120 °C à l’extérieur des tubes. L’eau de refroidissement (4 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circule dans les tubes et se réchauffe de 10 à 100 °C. Le coefficient global d’échange vaut 1000 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Ts = 120 °Cṁ = 4 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 10 → 100 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
Dans un échangeur de chaleur à contre-courant, les deux fluides ont le même débit de capacité thermique, ṁ·cp = 2 kW/K. Le fluide chaud entre à 125 °C et le fluide froid à 15 °C. L’échangeur a A = 5 m² et U = 200 W/(m²·K). Trouvez la température de sortie du fluide chaud Th,out.
Ch = Cc = 2 kW/KTh,in = 125 °CTc,in = 15 °CA = 5 m²U = 200 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = −11,24 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·8) = 0,3571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,96·8) = 0,01953 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 34/0,3767 = 90,26 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 21 − 90,26·0,3571 = −11,24 °C
Réponse
Ti = −11,24 °C
2.Conduction thermique
Réponse: U = 0,3491 W/(m²·K)
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·15) = 0,006667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·15) = 0,03922 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,035·15) = 0,1429 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0,002222 K/W
ΣR = 0,191 K/W
Coefficient global
U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,191) = 0,3491 W/(m²·K)
Réponse
U = 0,3491 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 28,5 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Puissance thermique côté eau
Q̇ = 4·4,18·(100 − 10) = 1505 kW
Écarts de température aux extrémités
ΔT₁ = 120 − 10 = 110 K
ΔT₂ = 120 − 100 = 20 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110 − 20)/ln(110/20) = 52,79 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 1,505 × 10⁶/(1000·52,79) = 28,5 m²
Réponse
A = 28,5 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: Th,out = 88,33 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écart de température constant
La sortie froide se trouve face à l’entrée chaude : Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), donc ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Bilan d’énergie égal à l’équation de transfert
2·(125 − Th,out) = 1·(Th,out − 15)
Th,out = (2·125 + 1·15)/(2 + 1) = 88,33 °C
Réponse
Th,out = 88,33 °C
Chaleur transférée : Q̇ = 73,33 kW ; le fluide froid sort à 51,67 °C.
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