Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 200 mm de laine minérale et de 25 mm de béton, avec une surface de 15 m². Les faces extérieures sont à 23 °C et -13 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 23 °CT3 = -13 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 50 mm de bois et 25 mm de béton sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à -7 °C. Les coefficients de convection valent 6 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 4 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 4 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -7 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur de chaleur à co-courant transfère 500 kW. Sa surface d’échange est de 8 m². Le fluide chaud se refroidit de 90 à 55 °C et le fluide froid se réchauffe de 25 à 50 °C. Trouvez le coefficient global d’échange U.
Q̇ = 500 kWA = 8 m²Th: 90 → 55 °CTc: 25 → 50 °C
U = W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
De l’huile chaude (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) se refroidit de 155 à 130 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 1,5 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 25 °C. Avec U = 800 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 155 → 130 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 107,6 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·15) = 0,3333 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·15) = 0,00119 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 36/0,3345 = 107,6 W
Réponse
Q̇ = 107,6 W
2.Conduction thermique
Réponse: Ts = 12,56 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·4) = 0,04167 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·4) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·4) = 0,004464 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·4) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,128 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (22 − (-7))/0,128 = 226,6 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 226,6·0,04167 = 12,56 °C
Réponse
Ts = 12,56 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: U = 2672 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écarts de température aux extrémités
À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 90 − 25 = 65 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 55 − 50 = 5 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (65 − 5)/ln(65/5) = 23,39 K
Coefficient global
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 500000/(8·23,39) = 2672 W/(m²·K)
Réponse
U = 2672 W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 0,6376 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,3·25 = 57,5 kW
Tc,out = 25 + 57,5/(1,5·4,18) = 34,17 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 34,17 = 120,8 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 130 − 25 = 105 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (120,8 − 105)/ln(120,8/105) = 112,7 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 57500/(800·112,7) = 0,6376 m²
Réponse
A = 0,6376 m²
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