Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 50 mm de laine minérale et de 75 mm de verre, avec une surface de 8 m². Les faces extérieures sont à 17 °C et -15 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 17 °CT3 = -15 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 50 mm de bois et 25 mm de brique sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à 5 °C. Les coefficients de convection valent 10 W/(m²·K) à l’intérieur et 20 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 15 m². Trouvez la perte de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 15 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 5 °C
Q̇ = W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à contre-courant transfère 360 kW. Le fluide chaud se refroidit de 150 à 70 °C et le fluide froid se réchauffe de 10 à 25 °C. Le coefficient global d’échange vaut 1000 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 360 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 150 → 70 °CTc: 10 → 25 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
Dans un échangeur à tubes concentriques à contre-courant, de l’huile chaude (0,8 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) circule dans le tube intérieur et se refroidit de 135 à 90 °C. L’eau (0,2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circulant dans l’espace annulaire entre à 20 °C. Le tube intérieur a un diamètre de 32 mm, et U = 500 W/(m²·K) est rapporté à ce diamètre. Trouvez la longueur de tube L nécessaire.
ṁh = 0,8 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 135 → 90 °Cṁc = 0,2 kg/sTc,in = 20 °CD = 32 mmU = 500 W/(m²·K)
L = m
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 192,8 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·8) = 0,1563 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·8) = 0,009766 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 32/0,166 = 192,8 W
Réponse
Q̇ = 192,8 W
2.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 532,5 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·15) = 0,006667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·15) = 0,01961 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·15) = 0,002315 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·15) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,03192 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (22 − (5))/0,03192 = 532,5 W
Réponse
Q̇ = 532,5 W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 4,065 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 25 = 125 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 10 = 60 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (125 − 60)/ln(125/60) = 88,56 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 360000/(1000·88,56) = 4,065 m²
Réponse
A = 4,065 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: L = 34,66 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = 0,8·2,1·(135 − 90) = 75,6 kW
Tc,out = 20 + 75,6/(0,2·4,18) = 110,4 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 110,4 = 24,57 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 20 = 70 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (24,57 − 70)/ln(24,57/70) = 43,39 K
Surface et longueur
A = 75600/(500·43,39) = 3,485 m²
L = A/(πD) = 3,485/(π·0,032) = 34,66 m
Réponse
L = 34,66 m
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