Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Polystyrène expansé, k = 0,03550 mmBois, k = 0,1750 mm16 °C-14 °CQ̇ = ?

Un mur est composé de 50 mm de polystyrène expansé et de 50 mm de bois, avec une surface de 8 m². Les faces extérieures sont à 16 °C et -14 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.

L1 = 50 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 16 °CT3 = -14 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Béton, k = 1,4100 mmPlaque de plâtre, k = 0,17100 mmpièce 21 °Cextérieur -15 °CTs​ = ?Q̇

Un mur de 100 mm de béton et 100 mm de plaque de plâtre sépare une pièce à 21 °C de l’air extérieur à -15 °C. Les coefficients de convection valent 8 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 15 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.

L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -15 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT130 °C15 °C95 °CΔT₁ΔT₂vapeur en condensation

Dans un condenseur, de la vapeur se condense à une température constante de 130 °C à l’extérieur des tubes. L’eau de refroidissement (3 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circule dans les tubes et se réchauffe de 15 à 95 °C. Le coefficient global d’échange vaut 2000 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.

Ts = 130 °Cṁ = 3 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 15 → 95 °CU = 2000 W/(m²·K)
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT95 °C70 °C44,9 °C15 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

De l’huile chaude (2 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) se refroidit de 95 à 70 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 1 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 15 °C. Avec U = 500 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 95 → 70 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Q̇ = 139,3 W

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,035·8) = 0,1786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·8) = 0,03676 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 30/0,2153 = 139,3 W

Réponse

Q̇ = 139,3 W
2.Conduction thermique

Réponse: Ts = 15,5 °C

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·15) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·15) = 0,004762 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·15) = 0,03922 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0,002222 K/W
ΣR = 0,05453 K/W

Perte de chaleur

Q̇ = (21 − (-15))/0,05453 = 660,1 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 660,1·0,008333 = 15,5 °C

Réponse

Ts = 15,5 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 7,459 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Puissance thermique côté eau

Q̇ = 3·4,18·(95 − 15) = 1003 kW

Écarts de température aux extrémités

ΔT₁ = 130 − 15 = 115 K
ΔT₂ = 130 − 95 = 35 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (115 − 35)/ln(115/35) = 67,25 K

Surface

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 1,003 × 10⁶/(2000·67,25) = 7,459 m²

Réponse

A = 7,459 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 4,761 m²

Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.

Puissance échangée et température de sortie de l’eau

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,5·25 = 125 kW
Tc,out = 15 + 125/(1·4,18) = 44,9 °C

Écarts de température aux extrémités

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 44,9 = 50,1 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 15 = 55 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (50,1 − 55)/ln(50,1/55) = 52,51 K

Surface

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 125000/(500·52,51) = 4,761 m²

Réponse

A = 4,761 m²

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