Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 100 mm de laine minérale et de 75 mm de béton, avec une surface de 10 m². Les faces extérieures sont à 25 °C et 7 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 25 °CT3 = 7 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 50 mm de plaque de plâtre et 25 mm de béton sépare une pièce à 20 °C de l’air extérieur à -11 °C. Les coefficients de convection valent 8 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 4 m². Trouvez la perte de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 4 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -11 °C
Q̇ = W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Dans un condenseur, de la vapeur se condense à une température constante de 110 °C à l’extérieur des tubes. L’eau de refroidissement (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circule dans les tubes et se réchauffe de 20 à 35 °C. Le coefficient global d’échange vaut 3000 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Ts = 110 °Cṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 20 → 35 °CU = 3000 W/(m²·K)
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
De l’huile chaude (0,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) se refroidit de 135 à 45 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 1 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 25 °C. Avec U = 300 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 135 → 45 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = 7,378 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·10) = 0,25 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1,4·10) = 0,005357 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 18/0,2554 = 70,49 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 70,49·0,25 = 7,378 °C
Réponse
Ti = 7,378 °C
2.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 263,7 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·4) = 0,03125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·4) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·4) = 0,004464 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·4) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,1176 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (20 − (-11))/0,1176 = 263,7 W
Réponse
Q̇ = 263,7 W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 0,254 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Puissance thermique côté eau
Q̇ = 1·4,18·(35 − 20) = 62,7 kW
Écarts de température aux extrémités
ΔT₁ = 110 − 20 = 90 K
ΔT₂ = 110 − 35 = 75 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 75)/ln(90/75) = 82,27 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 62700/(3000·82,27) = 0,254 m²
Réponse
A = 0,254 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 7,667 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,3·90 = 103,5 kW
Tc,out = 25 + 103,5/(1·4,18) = 49,76 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 49,76 = 85,24 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 25 = 20 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85,24 − 20)/ln(85,24/20) = 45 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 103500/(300·45) = 7,667 m²
Réponse
A = 7,667 m²
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