Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 50 mm de laine minérale et de 75 mm de brique, avec une surface de 6 m². Les faces extérieures sont à 19 °C et -11 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 19 °CT3 = -11 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 250 mm de bois et 25 mm de laine minérale sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à -6 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 15 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.
L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 15 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -6 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à faisceau tubulaire et calandre (une passe côté calandre, deux passes côté tubes) doit transférer 630 kW. Le fluide chaud se refroidit de 125 à 40 °C et le fluide froid se réchauffe de 15 à 35 °C. Le facteur de correction de la DTLM pour cette configuration vaut F = 0,92, et U = 500 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 630 kWF = 0,92U = 500 W/(m²·K)Th: 125 → 40 °CTc: 15 → 35 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
Dans un échangeur à tubes concentriques à contre-courant, de l’huile chaude (0,2 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) circule dans le tube intérieur et se refroidit de 160 à 60 °C. L’eau (0,2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circulant dans l’espace annulaire entre à 15 °C. Le tube intérieur a un diamètre de 32 mm, et U = 200 W/(m²·K) est rapporté à ce diamètre. Trouvez la longueur de tube L nécessaire.
ṁh = 0,2 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 160 → 60 °Cṁc = 0,2 kg/sTc,in = 15 °CD = 32 mmU = 200 W/(m²·K)
L = m
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = −8,692 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·6) = 0,2083 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·6) = 0,01736 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 30/0,2257 = 132,9 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 132,9·0,2083 = −8,692 °C
Réponse
Ti = −8,692 °C
2.Conduction thermique
Réponse: Ts = 20,39 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·15) = 0,008658 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·15) = 0,09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,04·15) = 0,04167 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0,002222 K/W
ΣR = 0,1506 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (22 − (-6))/0,1506 = 185,9 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 185,9·0,008658 = 20,39 °C
Réponse
Ts = 20,39 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 26,99 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écarts de température aux extrémités (contre-courant)
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 125 − 35 = 90 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 40 − 15 = 25 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 25)/ln(90/25) = 50,74 K
Surface
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 630000/(500·0,92·50,74) = 26,99 m²
Réponse
A = 26,99 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: L = 31,26 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = 0,2·2,1·(160 − 60) = 42 kW
Tc,out = 15 + 42/(0,2·4,18) = 65,24 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 65,24 = 94,76 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 15 = 45 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (94,76 − 45)/ln(94,76/45) = 66,82 K
Surface et longueur
A = 42000/(200·66,82) = 3,143 m²
L = A/(πD) = 3,143/(π·0,032) = 31,26 m
Réponse
L = 31,26 m
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