Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 150 mm de verre et de 150 mm de plaque de plâtre, avec une surface de 6 m². Les faces extérieures sont à 17 °C et -14 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 150 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 17 °CT3 = -14 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 100 mm de verre et 100 mm de laine minérale sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à -3 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 6 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.
L1 = 100 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 6 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -3 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur de chaleur à contre-courant transfère 250 kW. Sa surface d’échange est de 4 m². Le fluide chaud se refroidit de 155 à 90 °C et le fluide froid se réchauffe de 15 à 90 °C. Trouvez le coefficient global d’échange U.
Q̇ = 250 kWA = 4 m²Th: 155 → 90 °CTc: 15 → 90 °C
U = W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
De l’huile chaude (1,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) se refroidit de 155 à 120 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 0,5 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 15 °C. Avec U = 200 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 155 → 120 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 179,1 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,96·6) = 0,02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·6) = 0,1471 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0,1731 = 179,1 W
Réponse
Q̇ = 179,1 W
2.Conduction thermique
Réponse: U = 0,3614 W/(m²·K)
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·6) = 0,02165 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,96·6) = 0,01736 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,04·6) = 0,4167 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0,005556 K/W
ΣR = 0,4612 K/W
Coefficient global
U = 1/(A·ΣR) = 1/(6·0,4612) = 0,3614 W/(m²·K)
Réponse
U = 0,3614 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: U = 894,4 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 90 = 65 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 15 = 75 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (65 − 75)/ln(65/75) = 69,88 K
Coefficient global
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 250000/(4·69,88) = 894,4 W/(m²·K)
Réponse
U = 894,4 W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 7,26 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,5·35 = 131,3 kW
Tc,out = 15 + 131,3/(0,5·4,18) = 77,8 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 77,8 = 77,2 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 120 − 15 = 105 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (77,2 − 105)/ln(77,2/105) = 90,39 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 131250/(200·90,39) = 7,26 m²
Réponse
A = 7,26 m²
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