Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Polystyrène expansé, k = 0,035100 mmBrique, k = 0,72100 mm19 °C-8 °CTi​ = ?Q̇

Un mur est composé de 100 mm de polystyrène expansé et de 100 mm de brique, avec une surface de 6 m². Les faces extérieures sont à 19 °C et -8 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.

L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 19 °CT3 = -8 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Polystyrène expansé, k = 0,035150 mmVerre, k = 0,96150 mmpièce 21 °Cextérieur 4 °CTs​ = ?Q̇

Un mur de 150 mm de polystyrène expansé et 150 mm de verre sépare une pièce à 21 °C de l’air extérieur à 4 °C. Les coefficients de convection valent 6 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 8 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.

L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 4 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT125 °C70 °C25 °C45 °CΔT₁ΔT₂co-courant

Un échangeur de chaleur à co-courant transfère 480 kW. Sa surface d’échange est de 2,5 m². Le fluide chaud se refroidit de 125 à 70 °C et le fluide froid se réchauffe de 25 à 45 °C. Trouvez le coefficient global d’échange U.

Q̇ = 480 kWA = 2,5 m²Th: 125 → 70 °CTc: 25 → 45 °C
U = W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT95 °C50 °C16,19 °C10 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

De l’huile chaude (0,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) se refroidit de 95 à 50 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 2 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 10 °C. Avec U = 800 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 95 → 50 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Ti = −6,748 °C

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·6) = 0,4762 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·6) = 0,02315 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 27/0,4993 = 54,07 W

Température à l’interface

La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 54,07·0,4762 = −6,748 °C

Réponse

Ti = −6,748 °C
2.Conduction thermique

Réponse: Ts = 20,39 °C

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·8) = 0,5357 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,96·8) = 0,01953 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,5802 K/W

Perte de chaleur

Q̇ = (21 − (4))/0,5802 = 29,3 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 29,3·0,02083 = 20,39 °C

Réponse

Ts = 20,39 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: U = 3549 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Écarts de température aux extrémités

À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 125 − 25 = 100 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 70 − 45 = 25 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 25)/ln(100/25) = 54,1 K

Coefficient global

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 480000/(2,5·54,1) = 3549 W/(m²·K)

Réponse

U = 3549 W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 1,13 m²

Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.

Puissance échangée et température de sortie de l’eau

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,3·45 = 51,75 kW
Tc,out = 10 + 51,75/(2·4,18) = 16,19 °C

Écarts de température aux extrémités

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 16,19 = 78,81 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 10 = 40 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (78,81 − 40)/ln(78,81/40) = 57,23 K

Surface

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 51750/(800·57,23) = 1,13 m²

Réponse

A = 1,13 m²

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