Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 150 mm de polystyrène expansé et de 75 mm de bois, avec une surface de 15 m². Les faces extérieures sont à 18 °C et 7 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 18 °CT3 = 7 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 100 mm de verre et 25 mm de bois sépare une pièce à 21 °C de l’air extérieur à -10 °C. Les coefficients de convection valent 8 W/(m²·K) à l’intérieur et 25 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 4 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.
L1 = 100 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -10 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Dans un condenseur, de la vapeur se condense à une température constante de 130 °C à l’extérieur des tubes. L’eau de refroidissement (5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circule dans les tubes et se réchauffe de 20 à 50 °C. Le coefficient global d’échange vaut 2000 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Ts = 130 °Cṁ = 5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 20 → 50 °CU = 2000 W/(m²·K)
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
Dans un échangeur à tubes concentriques à co-courant, de l’huile chaude (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) circule dans le tube intérieur et se refroidit de 100 à 70 °C. L’eau (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circulant dans l’espace annulaire entre à 25 °C. Le tube intérieur a un diamètre de 40 mm, et U = 150 W/(m²·K) est rapporté à ce diamètre. Trouvez la longueur de tube L nécessaire.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 100 → 70 °Cṁc = 1 kg/sTc,in = 25 °CD = 40 mmU = 150 W/(m²·K)
L = m
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = 8,027 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·15) = 0,2857 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·15) = 0,02941 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 11/0,3151 = 34,91 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 34,91·0,2857 = 8,027 °C
Réponse
Ti = 8,027 °C
2.Conduction thermique
Réponse: U = 2,403 W/(m²·K)
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·4) = 0,03125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,96·4) = 0,02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·4) = 0,03676 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0,01 K/W
ΣR = 0,1041 K/W
Coefficient global
U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·0,1041) = 2,403 W/(m²·K)
Réponse
U = 2,403 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 3,328 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Puissance thermique côté eau
Q̇ = 5·4,18·(50 − 20) = 627 kW
Écarts de température aux extrémités
ΔT₁ = 130 − 20 = 110 K
ΔT₂ = 130 − 50 = 80 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110 − 80)/ln(110/80) = 94,21 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 627000/(2000·94,21) = 3,328 m²
Réponse
A = 3,328 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: L = 76,18 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = 1·2,3·(100 − 70) = 69 kW
Tc,out = 25 + 69/(1·4,18) = 41,51 °C
Écarts de température aux extrémités
À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 100 − 25 = 75 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 70 − 41,51 = 28,49 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (75 − 28,49)/ln(75/28,49) = 48,05 K
Surface et longueur
A = 69000/(150·48,05) = 9,573 m²
L = A/(πD) = 9,573/(π·0,04) = 76,18 m
Réponse
L = 76,18 m
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