Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 200 mm de béton et de 150 mm de laine minérale, avec une surface de 4 m². Les faces extérieures sont à 15 °C et -1 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 15 °CT3 = -1 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 50 mm de béton et 50 mm de bois sépare une pièce à 21 °C de l’air extérieur à 5 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 20 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 20 m². Trouvez la perte de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 50 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 5 °C
Q̇ = W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à faisceau tubulaire et calandre (une passe côté calandre, deux passes côté tubes) doit transférer 780 kW. Le fluide chaud se refroidit de 100 à 80 °C et le fluide froid se réchauffe de 25 à 55 °C. Le facteur de correction de la DTLM pour cette configuration vaut F = 0,95, et U = 200 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 780 kWF = 0,95U = 200 W/(m²·K)Th: 100 → 80 °CTc: 25 → 55 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
Dans un échangeur à tubes concentriques à contre-courant, de l’huile chaude (0,3 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) circule dans le tube intérieur et se refroidit de 125 à 60 °C. L’eau (0,8 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circulant dans l’espace annulaire entre à 20 °C. Le tube intérieur a un diamètre de 32 mm, et U = 200 W/(m²·K) est rapporté à ce diamètre. Trouvez la longueur de tube L nécessaire.
ṁh = 0,3 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 125 → 60 °Cṁc = 0,8 kg/sTc,in = 20 °CD = 32 mmU = 200 W/(m²·K)
L = m
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = 14,41 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·4) = 0,03571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·4) = 0,9375 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 16/0,9732 = 16,44 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 16,44·0,03571 = 14,41 °C
Réponse
Ti = 14,41 °C
2.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 627,8 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·20) = 0,006494 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(1,4·20) = 0,001786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·20) = 0,01471 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·20) = 0,0025 K/W
ΣR = 0,02549 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (21 − (5))/0,02549 = 627,8 W
Réponse
Q̇ = 627,8 W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 82,38 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écarts de température aux extrémités (contre-courant)
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 55 = 45 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 25 = 55 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (45 − 55)/ln(45/55) = 49,83 K
Surface
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 780000/(200·0,95·49,83) = 82,38 m²
Réponse
A = 82,38 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: L = 35,82 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = 0,3·2,3·(125 − 60) = 44,85 kW
Tc,out = 20 + 44,85/(0,8·4,18) = 33,41 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 125 − 33,41 = 91,59 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 20 = 40 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (91,59 − 40)/ln(91,59/40) = 62,27 K
Surface et longueur
A = 44850/(200·62,27) = 3,601 m²
L = A/(πD) = 3,601/(π·0,032) = 35,82 m
Réponse
L = 35,82 m
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