Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Bois, k = 0,17200 mmBrique, k = 0,7275 mm25 °C8 °CTi​ = ?Q̇

Un mur est composé de 200 mm de bois et de 75 mm de brique, avec une surface de 20 m². Les faces extérieures sont à 25 °C et 8 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.

L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 25 °CT3 = 8 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Bois, k = 0,17250 mmPlaque de plâtre, k = 0,17150 mmpièce 22 °Cextérieur 3 °CTs​ = ?Q̇

Un mur de 250 mm de bois et 150 mm de plaque de plâtre sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à 3 °C. Les coefficients de convection valent 8 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 6 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.

L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 3 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT110 °C10 °C85 °CΔT₁ΔT₂vapeur en condensation

Dans un condenseur, de la vapeur se condense à une température constante de 110 °C à l’extérieur des tubes. L’eau de refroidissement (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circule dans les tubes et se réchauffe de 10 à 85 °C. Le coefficient global d’échange vaut 3500 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.

Ts = 110 °Cṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 10 → 85 °CU = 3500 W/(m²·K)
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT110 °C15 °C?ΔT₁ΔT₂vapeur en condensation

De la vapeur se condense à une température constante de 110 °C à l’extérieur des tubes d’un condenseur de surface d’échange 4 m² et U = 2500 W/(m²·K). L’eau de refroidissement (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entre dans les tubes à 15 °C. Trouvez la température de sortie de l’eau Tc,out.

Ts = 110 °CA = 4 m²U = 2500 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °C
Tc,out = °C

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Ti = 9,383 °C

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·20) = 0,05882 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·20) = 0,005208 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 17/0,06403 = 265,5 W

Température à l’interface

La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 265,5·0,05882 = 9,383 °C

Réponse

Ti = 9,383 °C
2.Conduction thermique

Réponse: Ts = 21,05 °C

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·6) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·6) = 0,2451 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·6) = 0,1471 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0,005556 K/W
ΣR = 0,4185 K/W

Perte de chaleur

Q̇ = (22 − (3))/0,4185 = 45,4 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 45,4·0,02083 = 21,05 °C

Réponse

Ts = 21,05 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 0,8278 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Puissance thermique côté eau

Q̇ = 0,5·4,18·(85 − 10) = 156,8 kW

Écarts de température aux extrémités

ΔT₁ = 110 − 10 = 100 K
ΔT₂ = 110 − 85 = 25 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 25)/ln(100/25) = 54,1 K

Surface

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 156750/(3500·54,1) = 0,8278 m²

Réponse

A = 0,8278 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: Tc,out = 101,3 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combiner le bilan d’énergie et l’équation de transfert

Avec ΔT₁ = Ts − Tc,in et ΔT₂ = Ts − Tc,out, la différence ΔT₁ − ΔT₂ est égale à l’élévation de température de l’eau, donc celle-ci se simplifie.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2500·4/(1·4180) = 2,392

Température de sortie

ΔT₂ = ΔT₁·e−2,392 = 95·0,09142 = 8,684 K
Tc,out = 110 − 8,684 = 101,3 °C

Réponse

Tc,out = 101,3 °C

Chaleur transférée : Q̇ = 360,8 kW.

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