Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Polystyrène expansé, k = 0,035200 mmBois, k = 0,17100 mm17 °C8 °CTi​ = ?Q̇

Un mur est composé de 200 mm de polystyrène expansé et de 100 mm de bois, avec une surface de 4 m². Les faces extérieures sont à 17 °C et 8 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.

L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 17 °CT3 = 8 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Laine minérale, k = 0,0450 mmPlaque de plâtre, k = 0,1775 mmpièce 22 °Cextérieur -8 °CQ̇ = ?

Un mur de 50 mm de laine minérale et 75 mm de plaque de plâtre sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à -8 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 20 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 6 m². Trouvez la perte de chaleur Q̇ à travers le mur.

L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -8 °C
Q̇ = W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT140 °C105 °C75 °C30 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

Un échangeur à contre-courant transfère 160 kW. Le fluide chaud se refroidit de 140 à 105 °C et le fluide froid se réchauffe de 30 à 75 °C. Le coefficient global d’échange vaut 1500 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.

Q̇ = 160 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 140 → 105 °CTc: 30 → 75 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT100 °C30 °C?ΔT₁ΔT₂vapeur en condensation

De la vapeur se condense à une température constante de 100 °C à l’extérieur des tubes d’un condenseur de surface d’échange 1 m² et U = 3000 W/(m²·K). L’eau de refroidissement (2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entre dans les tubes à 30 °C. Trouvez la température de sortie de l’eau Tc,out.

Ts = 100 °CA = 1 m²U = 3000 W/(m²·K)ṁ = 2 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °C
Tc,out = °C

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Ti = 8,84 °C

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·4) = 1,429 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·4) = 0,1471 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 9/1,576 = 5,712 W

Température à l’interface

La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 5,712·1,429 = 8,84 °C

Réponse

Ti = 8,84 °C
2.Conduction thermique

Réponse: Q̇ = 96,2 W

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·6) = 0,02165 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·6) = 0,2083 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·6) = 0,07353 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·6) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,3118 K/W

Perte de chaleur

Q̇ = (22 − (-8))/0,3118 = 96,2 W

Réponse

Q̇ = 96,2 W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 1,526 m²

Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.

Écarts de température aux extrémités

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 75 = 65 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 105 − 30 = 75 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (65 − 75)/ln(65/75) = 69,88 K

Surface

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 160000/(1500·69,88) = 1,526 m²

Réponse

A = 1,526 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: Tc,out = 51,11 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combiner le bilan d’énergie et l’équation de transfert

Avec ΔT₁ = Ts − Tc,in et ΔT₂ = Ts − Tc,out, la différence ΔT₁ − ΔT₂ est égale à l’élévation de température de l’eau, donc celle-ci se simplifie.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 3000·1/(2·4180) = 0,3589

Température de sortie

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,3589 = 70·0,6985 = 48,89 K
Tc,out = 100 − 48,89 = 51,11 °C

Réponse

Tc,out = 51,11 °C

Chaleur transférée : Q̇ = 176,5 kW.

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