Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Polystyrène expansé, k = 0,035150 mmBrique, k = 0,7225 mm15 °C-4 °CQ̇ = ?

Un mur est composé de 150 mm de polystyrène expansé et de 25 mm de brique, avec une surface de 6 m². Les faces extérieures sont à 15 °C et -4 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.

L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 15 °CT3 = -4 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Verre, k = 0,96100 mmPlaque de plâtre, k = 0,1725 mmpièce 20 °Cextérieur 5 °CTs​ = ?Q̇

Un mur de 100 mm de verre et 25 mm de plaque de plâtre sépare une pièce à 20 °C de l’air extérieur à 5 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 12 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.

L1 = 100 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 5 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT85 °C45 °C60 °C30 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

Un échangeur à faisceau tubulaire et calandre (une passe côté calandre, deux passes côté tubes) doit transférer 70 kW. Le fluide chaud se refroidit de 85 à 45 °C et le fluide froid se réchauffe de 30 à 60 °C. Le facteur de correction de la DTLM pour cette configuration vaut F = 0,85, et U = 1000 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.

Q̇ = 70 kWF = 0,85U = 1000 W/(m²·K)Th: 85 → 45 °CTc: 30 → 60 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT145 °C??10 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

Dans un échangeur de chaleur à contre-courant, les deux fluides ont le même débit de capacité thermique, ṁ·cp = 1,5 kW/K. Le fluide chaud entre à 145 °C et le fluide froid à 10 °C. L’échangeur a A = 1,5 m² et U = 500 W/(m²·K). Trouvez la température de sortie du fluide chaud Th,out.

Ch = Cc = 1,5 kW/KTh,in = 145 °CTc,in = 10 °CA = 1,5 m²U = 500 W/(m²·K)
Th,out = °C

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Q̇ = 26,39 W

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·6) = 0,7143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·6) = 0,005787 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 19/0,7201 = 26,39 W

Réponse

Q̇ = 26,39 W
2.Conduction thermique

Réponse: Ts = 15,3 °C

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·12) = 0,01082 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,96·12) = 0,008681 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·12) = 0,01225 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·12) = 0,002778 K/W
ΣR = 0,03454 K/W

Perte de chaleur

Q̇ = (20 − (5))/0,03454 = 434,3 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 434,3·0,01082 = 15,3 °C

Réponse

Ts = 15,3 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 4,207 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Écarts de température aux extrémités (contre-courant)

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 60 = 25 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 30 = 15 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (25 − 15)/ln(25/15) = 19,58 K

Surface

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 70000/(1000·0,85·19,58) = 4,207 m²

Réponse

A = 4,207 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: Th,out = 100 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Écart de température constant

La sortie froide se trouve face à l’entrée chaude : Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), donc ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.

ΔTlm = Th,out − Tc,in

Bilan d’énergie égal à l’équation de transfert

1,5·(145 − Th,out) = 0,75·(Th,out − 10)
Th,out = (1,5·145 + 0,75·10)/(1,5 + 0,75) = 100 °C

Réponse

Th,out = 100 °C

Chaleur transférée : Q̇ = 67,5 kW ; le fluide froid sort à 55 °C.

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