Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 250 mm de brique et de 50 mm de laine minérale, avec une surface de 4 m². Les faces extérieures sont à 15 °C et -6 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 250 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 15 °CT3 = -6 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 200 mm de brique et 25 mm de verre sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à -3 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 25 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 15 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.
L1 = 200 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 15 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -3 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à faisceau tubulaire et calandre (une passe côté calandre, deux passes côté tubes) doit transférer 730 kW. Le fluide chaud se refroidit de 85 à 55 °C et le fluide froid se réchauffe de 30 à 45 °C. Le facteur de correction de la DTLM pour cette configuration vaut F = 0,85, et U = 500 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 730 kWF = 0,85U = 500 W/(m²·K)Th: 85 → 55 °CTc: 30 → 45 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
De la vapeur se condense à une température constante de 140 °C à l’extérieur des tubes d’un condenseur de surface d’échange 1,5 m² et U = 3000 W/(m²·K). L’eau de refroidissement (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entre dans les tubes à 25 °C. Trouvez la température de sortie de l’eau Tc,out.
Ts = 140 °CA = 1,5 m²U = 3000 W/(m²·K)ṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °C
Tc,out = °C
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = 10,43 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,72·4) = 0,08681 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,04·4) = 0,3125 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 21/0,3993 = 52,59 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 52,59·0,08681 = 10,43 °C
Réponse
Ti = 10,43 °C
2.Conduction thermique
Réponse: U = 2,111 W/(m²·K)
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·15) = 0,008658 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,72·15) = 0,01852 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,96·15) = 0,001736 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0,002667 K/W
ΣR = 0,03158 K/W
Coefficient global
U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,03158) = 2,111 W/(m²·K)
Réponse
U = 2,111 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 53,82 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écarts de température aux extrémités (contre-courant)
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 45 = 40 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 30 = 25 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (40 − 25)/ln(40/25) = 31,91 K
Surface
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 730000/(500·0,85·31,91) = 53,82 m²
Réponse
A = 53,82 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: Tc,out = 126,6 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Combiner le bilan d’énergie et l’équation de transfert
Avec ΔT₁ = Ts − Tc,in et ΔT₂ = Ts − Tc,out, la différence ΔT₁ − ΔT₂ est égale à l’élévation de température de l’eau, donc celle-ci se simplifie.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 3000·1,5/(0,5·4180) = 2,153
Température de sortie
ΔT₂ = ΔT₁·e−2,153 = 115·0,1161 = 13,35 K
Tc,out = 140 − 13,35 = 126,6 °C
Réponse
Tc,out = 126,6 °C
Chaleur transférée : Q̇ = 212,4 kW.
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