Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 200 mm de polystyrène expansé et de 25 mm de verre, avec une surface de 6 m². Les faces extérieures sont à 19 °C et -8 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 19 °CT3 = -8 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 50 mm de plaque de plâtre et 50 mm de béton sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à -5 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 25 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 15 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 15 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -5 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à contre-courant transfère 260 kW. Le fluide chaud se refroidit de 175 à 115 °C et le fluide froid se réchauffe de 25 à 60 °C. Le coefficient global d’échange vaut 1500 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 260 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 175 → 115 °CTc: 25 → 60 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
Dans un échangeur de chaleur à contre-courant, les deux fluides ont le même débit de capacité thermique, ṁ·cp = 1 kW/K. Le fluide chaud entre à 125 °C et le fluide froid à 20 °C. L’échangeur a A = 4 m² et U = 300 W/(m²·K). Trouvez la température de sortie du fluide chaud Th,out.
Ch = Cc = 1 kW/KTh,in = 125 °CTc,in = 20 °CA = 4 m²U = 300 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = −7,878 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·6) = 0,9524 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,96·6) = 0,00434 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 27/0,9567 = 28,22 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 28,22·0,9524 = −7,878 °C
Réponse
Ti = −7,878 °C
2.Conduction thermique
Réponse: Ts = 14,98 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·15) = 0,008658 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·15) = 0,01961 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1,4·15) = 0,002381 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0,002667 K/W
ΣR = 0,03331 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (22 − (-5))/0,03331 = 810,5 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 810,5·0,008658 = 14,98 °C
Réponse
Ts = 14,98 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 1,7 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 175 − 60 = 115 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 115 − 25 = 90 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (115 − 90)/ln(115/90) = 102 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 260000/(1500·102) = 1,7 m²
Réponse
A = 1,7 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: Th,out = 67,73 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écart de température constant
La sortie froide se trouve face à l’entrée chaude : Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), donc ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Bilan d’énergie égal à l’équation de transfert
1·(125 − Th,out) = 1,2·(Th,out − 20)
Th,out = (1·125 + 1,2·20)/(1 + 1,2) = 67,73 °C
Réponse
Th,out = 67,73 °C
Chaleur transférée : Q̇ = 57,27 kW ; le fluide froid sort à 77,27 °C.
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