Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Laine minérale, k = 0,04100 mmPolystyrène expansé, k = 0,03550 mm16 °C-15 °CQ̇ = ?

Un mur est composé de 100 mm de laine minérale et de 50 mm de polystyrène expansé, avec une surface de 20 m². Les faces extérieures sont à 16 °C et -15 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.

L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 16 °CT3 = -15 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Polystyrène expansé, k = 0,035150 mmBois, k = 0,1775 mmpièce 20 °Cextérieur -7 °CQ̇ = ?

Un mur de 150 mm de polystyrène expansé et 75 mm de bois sépare une pièce à 20 °C de l’air extérieur à -7 °C. Les coefficients de convection valent 6 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 10 m². Trouvez la perte de chaleur Q̇ à travers le mur.

L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -7 °C
Q̇ = W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT120 °C20 °C100 °CΔT₁ΔT₂vapeur en condensation

Dans un condenseur, de la vapeur se condense à une température constante de 120 °C à l’extérieur des tubes. L’eau de refroidissement (4 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circule dans les tubes et se réchauffe de 20 à 100 °C. Le coefficient global d’échange vaut 1000 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.

Ts = 120 °Cṁ = 4 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 20 → 100 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT130 °C30 °C?ΔT₁ΔT₂vapeur en condensation

De la vapeur se condense à une température constante de 130 °C à l’extérieur des tubes d’un condenseur de surface d’échange 5 m² et U = 1000 W/(m²·K). L’eau de refroidissement (3 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entre dans les tubes à 30 °C. Trouvez la température de sortie de l’eau Tc,out.

Ts = 130 °CA = 5 m²U = 1000 W/(m²·K)ṁ = 3 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °C
Tc,out = °C

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Q̇ = 157,8 W

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·20) = 0,125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,035·20) = 0,07143 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0,1964 = 157,8 W

Réponse

Q̇ = 157,8 W
2.Conduction thermique

Réponse: Q̇ = 54,8 W

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·10) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·10) = 0,4286 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·10) = 0,04412 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·10) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,4927 K/W

Perte de chaleur

Q̇ = (20 − (-7))/0,4927 = 54,8 W

Réponse

Q̇ = 54,8 W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 26,91 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Puissance thermique côté eau

Q̇ = 4·4,18·(100 − 20) = 1338 kW

Écarts de température aux extrémités

ΔT₁ = 120 − 20 = 100 K
ΔT₂ = 120 − 100 = 20 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 20)/ln(100/20) = 49,71 K

Surface

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 1,338 × 10⁶/(1000·49,71) = 26,91 m²

Réponse

A = 26,91 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: Tc,out = 62,88 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combiner le bilan d’énergie et l’équation de transfert

Avec ΔT₁ = Ts − Tc,in et ΔT₂ = Ts − Tc,out, la différence ΔT₁ − ΔT₂ est égale à l’élévation de température de l’eau, donc celle-ci se simplifie.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1000·5/(3·4180) = 0,3987

Température de sortie

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,3987 = 100·0,6712 = 67,12 K
Tc,out = 130 − 67,12 = 62,88 °C

Réponse

Tc,out = 62,88 °C

Chaleur transférée : Q̇ = 412,3 kW.

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