Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Béton, k = 1,4250 mmPolystyrène expansé, k = 0,035100 mm21 °C10 °CQ̇ = ?

Un mur est composé de 250 mm de béton et de 100 mm de polystyrène expansé, avec une surface de 12 m². Les faces extérieures sont à 21 °C et 10 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.

L1 = 250 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 21 °CT3 = 10 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Polystyrène expansé, k = 0,03550 mmLaine minérale, k = 0,0475 mmpièce 21 °Cextérieur 1 °CQ̇

Un mur de 50 mm de polystyrène expansé et 75 mm de laine minérale sépare une pièce à 21 °C de l’air extérieur à 1 °C. Les coefficients de convection valent 8 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 20 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.

L1 = 50 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 20 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 1 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT80 °C25 °C25 °C10 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

Un échangeur de chaleur à contre-courant transfère 350 kW. Sa surface d’échange est de 4 m². Le fluide chaud se refroidit de 80 à 25 °C et le fluide froid se réchauffe de 10 à 25 °C. Trouvez le coefficient global d’échange U.

Q̇ = 350 kWA = 4 m²Th: 80 → 25 °CTc: 10 → 25 °C
U = W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT130 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂vapeur en condensation

De la vapeur se condense à une température constante de 130 °C à l’extérieur des tubes d’un condenseur de surface d’échange 2 m² et U = 1000 W/(m²·K). L’eau de refroidissement (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entre dans les tubes à 10 °C. Trouvez la température de sortie de l’eau Tc,out.

Ts = 130 °CA = 2 m²U = 1000 W/(m²·K)ṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C
Tc,out = °C

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Q̇ = 43,48 W

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1,4·12) = 0,01488 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·12) = 0,2381 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 11/0,253 = 43,48 W

Réponse

Q̇ = 43,48 W
2.Conduction thermique

Réponse: U = 0,2889 W/(m²·K)

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·20) = 0,00625 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,035·20) = 0,07143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·20) = 0,09375 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0,001667 K/W
ΣR = 0,1731 K/W

Coefficient global

U = 1/(A·ΣR) = 1/(20·0,1731) = 0,2889 W/(m²·K)

Réponse

U = 0,2889 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: U = 2842 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Écarts de température aux extrémités

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 25 = 55 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 25 − 10 = 15 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55 − 15)/ln(55/15) = 30,79 K

Coefficient global

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 350000/(4·30,79) = 2842 W/(m²·K)

Réponse

U = 2842 W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: Tc,out = 83,91 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combiner le bilan d’énergie et l’équation de transfert

Avec ΔT₁ = Ts − Tc,in et ΔT₂ = Ts − Tc,out, la différence ΔT₁ − ΔT₂ est égale à l’élévation de température de l’eau, donc celle-ci se simplifie.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1000·2/(0,5·4180) = 0,9569

Température de sortie

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,9569 = 120·0,3841 = 46,09 K
Tc,out = 130 − 46,09 = 83,91 °C

Réponse

Tc,out = 83,91 °C

Chaleur transférée : Q̇ = 154,5 kW.

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