Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 100 mm de plaque de plâtre et de 75 mm de brique, avec une surface de 8 m². Les faces extérieures sont à 15 °C et 5 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 15 °CT3 = 5 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 200 mm de polystyrène expansé et 100 mm de plaque de plâtre sépare une pièce à 21 °C de l’air extérieur à 5 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 25 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 10 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.
L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 5 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à contre-courant transfère 320 kW. Le fluide chaud se refroidit de 110 à 85 °C et le fluide froid se réchauffe de 20 à 30 °C. Le coefficient global d’échange vaut 1000 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 320 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 110 → 85 °CTc: 20 → 30 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
Dans un échangeur à tubes concentriques à contre-courant, de l’huile chaude (1 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) circule dans le tube intérieur et se refroidit de 145 à 55 °C. L’eau (0,8 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circulant dans l’espace annulaire entre à 15 °C. Le tube intérieur a un diamètre de 50 mm, et U = 250 W/(m²·K) est rapporté à ce diamètre. Trouvez la longueur de tube L nécessaire.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 145 → 55 °Cṁc = 0,8 kg/sTc,in = 15 °CD = 50 mmU = 250 W/(m²·K)
L = m
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = 6,504 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·8) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·8) = 0,01302 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 10/0,08655 = 115,5 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 115,5·0,07353 = 6,504 °C
Réponse
Ti = 6,504 °C
2.Conduction thermique
Réponse: U = 0,1545 W/(m²·K)
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·10) = 0,01299 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·10) = 0,5714 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·10) = 0,05882 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·10) = 0,004 K/W
ΣR = 0,6472 K/W
Coefficient global
U = 1/(A·ΣR) = 1/(10·0,6472) = 0,1545 W/(m²·K)
Réponse
U = 0,1545 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 4,43 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 30 = 80 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 20 = 65 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 65)/ln(80/65) = 72,24 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 320000/(1000·72,24) = 4,43 m²
Réponse
A = 4,43 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: L = 113,4 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = 1·2,5·(145 − 55) = 225 kW
Tc,out = 15 + 225/(0,8·4,18) = 82,28 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 145 − 82,28 = 62,72 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 15 = 40 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (62,72 − 40)/ln(62,72/40) = 50,51 K
Surface et longueur
A = 225000/(250·50,51) = 17,82 m²
L = A/(πD) = 17,82/(π·0,05) = 113,4 m
Réponse
L = 113,4 m
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