Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Laine minérale, k = 0,04250 mmPolystyrène expansé, k = 0,03550 mm21 °C0 °CQ̇ = ?

Un mur est composé de 250 mm de laine minérale et de 50 mm de polystyrène expansé, avec une surface de 10 m². Les faces extérieures sont à 21 °C et 0 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.

L1 = 250 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 21 °CT3 = 0 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Plaque de plâtre, k = 0,17200 mmBois, k = 0,1725 mmpièce 22 °Cextérieur 3 °CQ̇

Un mur de 200 mm de plaque de plâtre et 25 mm de bois sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à 3 °C. Les coefficients de convection valent 8 W/(m²·K) à l’intérieur et 25 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 12 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.

L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 3 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT140 °C15 °C125 °CΔT₁ΔT₂vapeur en condensation

Dans un condenseur, de la vapeur se condense à une température constante de 140 °C à l’extérieur des tubes. L’eau de refroidissement (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circule dans les tubes et se réchauffe de 15 à 125 °C. Le coefficient global d’échange vaut 2000 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.

Ts = 140 °Cṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 15 → 125 °CU = 2000 W/(m²·K)
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT95 °C??25 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

Dans un échangeur de chaleur à contre-courant, les deux fluides ont le même débit de capacité thermique, ṁ·cp = 0,5 kW/K. Le fluide chaud entre à 95 °C et le fluide froid à 25 °C. L’échangeur a A = 2 m² et U = 800 W/(m²·K). Trouvez la température de sortie du fluide chaud Th,out.

Ch = Cc = 0,5 kW/KTh,in = 95 °CTc,in = 25 °CA = 2 m²U = 800 W/(m²·K)
Th,out = °C

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Q̇ = 27,35 W

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,04·10) = 0,625 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,035·10) = 0,1429 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 21/0,7679 = 27,35 W

Réponse

Q̇ = 27,35 W
2.Conduction thermique

Réponse: U = 0,6718 W/(m²·K)

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·12) = 0,01042 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·12) = 0,09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·12) = 0,01225 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,124 K/W

Coefficient global

U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0,124) = 0,6718 W/(m²·K)

Réponse

U = 0,6718 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 2,216 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Puissance thermique côté eau

Q̇ = 0,5·4,18·(125 − 15) = 229,9 kW

Écarts de température aux extrémités

ΔT₁ = 140 − 15 = 125 K
ΔT₂ = 140 − 125 = 15 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (125 − 15)/ln(125/15) = 51,88 K

Surface

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 229900/(2000·51,88) = 2,216 m²

Réponse

A = 2,216 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: Th,out = 41,67 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Écart de température constant

La sortie froide se trouve face à l’entrée chaude : Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), donc ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.

ΔTlm = Th,out − Tc,in

Bilan d’énergie égal à l’équation de transfert

0,5·(95 − Th,out) = 1,6·(Th,out − 25)
Th,out = (0,5·95 + 1,6·25)/(0,5 + 1,6) = 41,67 °C

Réponse

Th,out = 41,67 °C

Chaleur transférée : Q̇ = 26,67 kW ; le fluide froid sort à 78,33 °C.

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