Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 150 mm de verre et de 150 mm de laine minérale, avec une surface de 6 m². Les faces extérieures sont à 18 °C et 5 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 150 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 18 °CT3 = 5 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 100 mm de bois et 75 mm de verre sépare une pièce à 20 °C de l’air extérieur à -15 °C. Les coefficients de convection valent 8 W/(m²·K) à l’intérieur et 20 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 6 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 6 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -15 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Dans un condenseur, de la vapeur se condense à une température constante de 140 °C à l’extérieur des tubes. L’eau de refroidissement (5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circule dans les tubes et se réchauffe de 15 à 115 °C. Le coefficient global d’échange vaut 1500 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Ts = 140 °Cṁ = 5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 15 → 115 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
Dans un échangeur de chaleur à contre-courant, les deux fluides ont le même débit de capacité thermique, ṁ·cp = 2 kW/K. Le fluide chaud entre à 125 °C et le fluide froid à 20 °C. L’échangeur a A = 3 m² et U = 800 W/(m²·K). Trouvez la température de sortie du fluide chaud Th,out.
Ch = Cc = 2 kW/KTh,in = 125 °CTc,in = 20 °CA = 3 m²U = 800 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = 17,48 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,96·6) = 0,02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·6) = 0,625 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 13/0,651 = 19,97 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 19,97·0,02604 = 17,48 °C
Réponse
Ti = 17,48 °C
2.Conduction thermique
Réponse: Ts = 14,8 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·6) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·6) = 0,09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·6) = 0,01302 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·6) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,1402 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (20 − (-15))/0,1402 = 249,6 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 249,6·0,02083 = 14,8 °C
Réponse
Ts = 14,8 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 22,42 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Puissance thermique côté eau
Q̇ = 5·4,18·(115 − 15) = 2090 kW
Écarts de température aux extrémités
ΔT₁ = 140 − 15 = 125 K
ΔT₂ = 140 − 115 = 25 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (125 − 25)/ln(125/25) = 62,13 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 2,09 × 10⁶/(1500·62,13) = 22,42 m²
Réponse
A = 22,42 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: Th,out = 67,73 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écart de température constant
La sortie froide se trouve face à l’entrée chaude : Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), donc ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Bilan d’énergie égal à l’équation de transfert
2·(125 − Th,out) = 2,4·(Th,out − 20)
Th,out = (2·125 + 2,4·20)/(2 + 2,4) = 67,73 °C
Réponse
Th,out = 67,73 °C
Chaleur transférée : Q̇ = 114,5 kW ; le fluide froid sort à 77,27 °C.
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