Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 250 mm de verre et de 150 mm de béton, avec une surface de 15 m². Les faces extérieures sont à 22 °C et -7 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 250 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 22 °CT3 = -7 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 250 mm de plaque de plâtre et 25 mm de laine minérale sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à 2 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 6 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.
L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 6 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 2 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Dans un condenseur, de la vapeur se condense à une température constante de 105 °C à l’extérieur des tubes. L’eau de refroidissement (2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circule dans les tubes et se réchauffe de 10 à 80 °C. Le coefficient global d’échange vaut 3500 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Ts = 105 °Cṁ = 2 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 10 → 80 °CU = 3500 W/(m²·K)
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
De l’huile chaude (2 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) se refroidit de 135 à 90 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 1 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 10 °C. Avec U = 200 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 135 → 90 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = 1,453 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,96·15) = 0,01736 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1,4·15) = 0,007143 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 29/0,0245 = 1183 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 1183·0,01736 = 1,453 °C
Réponse
Ti = 1,453 °C
2.Conduction thermique
Réponse: Ts = 20,85 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·6) = 0,02165 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·6) = 0,2451 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,04·6) = 0,1042 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0,005556 K/W
ΣR = 0,3765 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (22 − (2))/0,3765 = 53,13 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 53,13·0,02165 = 20,85 °C
Réponse
Ts = 20,85 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 3,189 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Puissance thermique côté eau
Q̇ = 2·4,18·(80 − 10) = 585,2 kW
Écarts de température aux extrémités
ΔT₁ = 105 − 10 = 95 K
ΔT₂ = 105 − 80 = 25 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (95 − 25)/ln(95/25) = 52,43 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 585200/(3500·52,43) = 3,189 m²
Réponse
A = 3,189 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 13,32 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,3·45 = 207 kW
Tc,out = 10 + 207/(1·4,18) = 59,52 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 59,52 = 75,48 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 10 = 80 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (75,48 − 80)/ln(75,48/80) = 77,72 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 207000/(200·77,72) = 13,32 m²
Réponse
A = 13,32 m²
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