Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 200 mm de bois et de 75 mm de plaque de plâtre, avec une surface de 4 m². Les faces extérieures sont à 20 °C et 6 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 20 °CT3 = 6 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 200 mm de laine minérale et 150 mm de verre sépare une pièce à 21 °C de l’air extérieur à -9 °C. Les coefficients de convection valent 6 W/(m²·K) à l’intérieur et 20 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 8 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.
L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -9 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à co-courant transfère 240 kW. Le fluide chaud se refroidit de 115 à 90 °C et le fluide froid se réchauffe de 15 à 25 °C. Le coefficient global d’échange vaut 200 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 240 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 115 → 90 °CTc: 15 → 25 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
De l’huile chaude (0,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) se refroidit de 80 à 60 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 3 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 25 °C. Avec U = 1000 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 80 → 60 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 34,62 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·4) = 0,2941 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·4) = 0,1103 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 14/0,4044 = 34,62 W
Réponse
Q̇ = 34,62 W
2.Conduction thermique
Réponse: Ts = 20,07 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·8) = 0,625 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,96·8) = 0,01953 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0,00625 K/W
ΣR = 0,6716 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (21 − (-9))/0,6716 = 44,67 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 44,67·0,02083 = 20,07 °C
Réponse
Ts = 20,07 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 14,77 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Écarts de température aux extrémités
À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 115 − 15 = 100 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 90 − 25 = 65 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 65)/ln(100/65) = 81,25 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 240000/(200·81,25) = 14,77 m²
Réponse
A = 14,77 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 0,5763 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,5·20 = 25 kW
Tc,out = 25 + 25/(3·4,18) = 26,99 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 26,99 = 53,01 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 25 = 35 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (53,01 − 35)/ln(53,01/35) = 43,38 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 25000/(1000·43,38) = 0,5763 m²
Réponse
A = 0,5763 m²
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