Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 100 mm de polystyrène expansé et de 50 mm de bois, avec une surface de 10 m². Les faces extérieures sont à 23 °C et 8 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 23 °CT3 = 8 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 200 mm de verre et 100 mm de laine minérale sépare une pièce à 20 °C de l’air extérieur à -8 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 12 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.
L1 = 200 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -8 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur de chaleur à co-courant transfère 220 kW. Sa surface d’échange est de 5 m². Le fluide chaud se refroidit de 160 à 145 °C et le fluide froid se réchauffe de 25 à 130 °C. Trouvez le coefficient global d’échange U.
Q̇ = 220 kWA = 5 m²Th: 160 → 145 °CTc: 25 → 130 °C
U = W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
Dans un échangeur à tubes concentriques à co-courant, de l’huile chaude (0,2 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) circule dans le tube intérieur et se refroidit de 105 à 65 °C. L’eau (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circulant dans l’espace annulaire entre à 20 °C. Le tube intérieur a un diamètre de 25 mm, et U = 150 W/(m²·K) est rapporté à ce diamètre. Trouvez la longueur de tube L nécessaire.
ṁh = 0,2 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 105 → 65 °Cṁc = 0,5 kg/sTc,in = 20 °CD = 25 mmU = 150 W/(m²·K)
L = m
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 47,6 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·10) = 0,2857 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·10) = 0,02941 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 15/0,3151 = 47,6 W
Réponse
Q̇ = 47,6 W
2.Conduction thermique
Réponse: Ts = 18,73 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·12) = 0,01082 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,96·12) = 0,01736 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,04·12) = 0,2083 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·12) = 0,002778 K/W
ΣR = 0,2393 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (20 − (-8))/0,2393 = 117 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 117·0,01082 = 18,73 °C
Réponse
Ts = 18,73 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: U = 805,6 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écarts de température aux extrémités
À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 160 − 25 = 135 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 145 − 130 = 15 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (135 − 15)/ln(135/15) = 54,61 K
Coefficient global
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 220000/(5·54,61) = 805,6 W/(m²·K)
Réponse
U = 805,6 W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: L = 27,32 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = 0,2·2,3·(105 − 65) = 18,4 kW
Tc,out = 20 + 18,4/(0,5·4,18) = 28,8 °C
Écarts de température aux extrémités
À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 105 − 20 = 85 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 65 − 28,8 = 36,2 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85 − 36,2)/ln(85/36,2) = 57,17 K
Surface et longueur
A = 18400/(150·57,17) = 2,146 m²
L = A/(πD) = 2,146/(π·0,025) = 27,32 m
Réponse
L = 27,32 m
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