Hydraulique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Écoulement à surface libre (Manning)

Formule de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Débit: Q = A·V
Rayon hydraulique: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectangle: A = b·y, P = b + 2y
Trapèze (fruit des berges z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine: R = D/4
Pente nécessaire: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 2 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la profondeur y_cp du centre de poussée sous la surface.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuité et BernoulliMoyen

L’eau circule dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 150 mm à 100 mm. Dans la partie large, la pression vaut 270 kPa et la vitesse 2,75 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p₂ dans la partie étroite.

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 270 kPav₁ = 2,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuité et BernoulliDifficile

Un venturimètre horizontal (entrée 250 mm, col 125 mm) est parcouru par de l’eau. Un manomètre différentiel en U à mercure relié entre l’entrée et le col indique une dénivellation de 150 mm. Le coefficient de débit vaut 0,98. Trouvez le débit Q. Prenez ρ = 1000 kg/m³ pour l’eau, 13 600 kg/m³ pour le mercure et g = 9,81 m/s².

d₁ = 250 mmd₂ = 125 mmΔh = 150 mmC_d = 0,98ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau (ρ = 1000 kg/m³) s’écoule à 2 m/s dans une conduite horizontale de 50 m de long et de diamètre intérieur 75 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,03 et g = 9,81 m/s². Trouvez la chute de pression Δp le long de la conduite, en kPa.

V = 2 m/sL = 50 mD = 75 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 300 m de long, de diamètre intérieur 250 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,025. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 3 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 2) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 150 L/s ?

Q = 150 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Lors d’un essai, une pompe débite 40 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 24 m tandis que son arbre absorbe 11,8 kW. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le rendement de la pompe η en pourcentage.

Q = 40 L/sH = 24 mP_shaft = 11,8 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 80 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 8 m plus haut. La conduite mesure 300 m de long, a un diamètre intérieur de 200 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,015 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 400 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.

Q = 80 L/sΔz = 8 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8p_tank = 400 kPa

H = m

9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen

Un canal trapézoïdal en maçonnerie de briques a une largeur au fond de 6 m et un fruit des berges de 1,5:1 (horizontal:vertical). L’eau s’écoule uniformément sur 0,5 m de profondeur. n de Manning = 0,015 et la pente du fond vaut S = 0,0005. Trouvez le débit Q en m³/s.

b = 6 my = 0,5 mz = 1,5n = 0,015S = 0,0005

Q = m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile

Un canal trapézoïdal en béton brut de largeur au fond 3,5 m et de fruit des berges 3:1 (horizontal:vertical) doit transporter 23 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 1,3 m. n de Manning = 0,014. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).

Q = 23 m³/sb = 3,5 my = 1,3 mz = 3n = 0,014

S = m/m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 79,71 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·2,5 = 79,71 kN

Réponse

F = 79,71 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: y_cp = 3,889 m

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·3,75 = 138 kN

Centre de poussée

La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2,5³/12 = 1,953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,75 + 1,953/(3,75·3,75) = 3,889 m

Réponse

y_cp = 3,889 m

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: p₂ = 254,6 kPa

Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.

Continuité et Bernoulli

Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,75·(150/100)² = 6,188 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,75² − 6,188²)/1000 = −15,36 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 270 + (−15,36) = 254,6 kPa

Réponse

p₂ = 254,6 kPa

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: Q = 75,64 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Différence de pression d’après le manomètre

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,15 = 18541 Pa

Vitesse au col

La continuité et Bernoulli donnent ensemble la vitesse idéale au col.

β = 125/250 = 0,5

v₂ = √(2·18541/(1000·(1 − 0,0625))) = 6,289 m/s

Débit réel

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,98·0,01227·6,289 = 0,07564 m³/s = 75,64 L/s

Réponse

Q = 75,64 L/s

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Δp = 40 kPa

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Perte de charge

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(50/0,075)·2²/(2·9,81) = 4,077 m

Chute de pression

La conduite est horizontale et la vitesse ne change pas ; l’équation de l’énergie se réduit donc à Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·4,077 = 40000 Pa = 40 kPa

Réponse

Δp = 40 kPa

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Δz = 16,37 m

Vitesse

V = Q/A = 0,15/0,04909 = 3,056 m/s

V²/(2g) = 0,4759 m

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,025·300/0,25 = 30

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Perte de charge totale

h_f = 30·0,4759 = 14,28 m

h_m = 4,4·0,4759 = 2,094 m

Δz = h_f + h_m = 16,37 m

Réponse

Δz = 16,37 m

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: η = 79,81 %

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·24 = 9,418 kW

Rendement

η = P_h/P_shaft = 9,418/11,8 = 79,81%

Réponse

η = 79,81%

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: H = 58,86 m

Vitesse

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22,5 + 8)·0,3305 = 10,08 m

Hauteur de pression

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m

Hauteur manométrique de la pompe

Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 8 + 40,77 + 10,08 = 58,86 m

Réponse

H = 58,86 m

9.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: Q = 2,878 m³/s

Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.

Géométrie

A = (b + z·y)·y = (6 + 1,5·0,5)·0,5 = 3,375 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·0,5·√(1 + 1,5²) = 7,803 m

R = A/P = 0,4325 m

Vitesse

V = (1/0,015)·0,4325^2/3·0,0005^1/2 = 0,8526 m/s

Débit

Q = A·V = 3,375·0,8526 = 2,878 m³/s

Réponse

Q = 2,878 m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: S = 0,001458 m/m

Géométrie

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 3·1,3)·1,3 = 9,62 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·1,3·√(1 + 3²) = 11,72 m

R = A/P = 0,8207 m

Résoudre Manning pour S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·23/(9,62·0,8766) = 0,03819

S = 0,03819² = 0,001458

Réponse

S = 0,001458

Cela correspond à une pente de 1,458 m par kilomètre.

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