Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Hydraulique : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Écoulement à surface libre (Manning)
- Formule de Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Débit
- Q = A·V
- Rayon hydraulique
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rectangle
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapèze (fruit des berges z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine
- R = D/4
- Pente nécessaire
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 2 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau de mer, avec son bord supérieur à 1,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 1,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuité et BernoulliMoyen
L’eau circule dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 150 mm à 75 mm. Dans la partie large, la pression vaut 190 kPa et la vitesse 1,75 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p2 dans la partie étroite.
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 190 kPav1 = 1,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuité et BernoulliDifficile
La buse d’une fontaine est dirigée verticalement vers le haut. Juste sous la buse, la conduite d’alimentation a un diamètre de 50 mm et une pression relative de 120 kPa. Le diamètre de sortie de la buse est de 25 mm et la différence de hauteur à travers la buse est négligeable. En négligeant les pertes et la résistance de l’air, trouvez la hauteur H à laquelle le jet s’élève au-dessus de la buse. Prenez g = 9,81 m/s².
d1 = 50 mmp1 = 120 kPa (relative)d2 = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau (ρ = 1000 kg/m³) s’écoule à 1,8 m/s dans une conduite horizontale de 500 m de long et de diamètre intérieur 300 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,022 et g = 9,81 m/s². Trouvez la chute de pression Δp le long de la conduite, en kPa.
V = 1,8 m/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 400 m de long, de diamètre intérieur 250 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,015. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 3 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 2) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 50 L/s ?
Q = 50 L/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Une pompe de rendement 82 % débite 20 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 80 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft nécessaire, en kW.
Q = 20 L/sH = 80 mη = 82%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 20 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 15 m plus haut. La conduite mesure 100 m de long, a un diamètre intérieur de 100 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,015 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 6 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 400 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.
Q = 20 L/sΔz = 15 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 6ptank = 400 kPa
H = m
9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen
Un collecteur d’eaux pluviales en béton de diamètre intérieur 900 mm coule à moitié plein. n de Manning = 0,013 et la pente vaut S = 0,0005. Trouvez le débit Q en m³/s.
D = 900 mmn = 0,013S = 0,0005
Q = m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile
Un collecteur en béton de diamètre intérieur 375 mm (n de Manning = 0,013) doit atteindre une vitesse d’autocurage de 0,6 m/s lorsqu’il coule tout juste plein. Trouvez la pente minimale S (en m/m).
D = 375 mmn = 0,013V = 0,6 m/s
S = m/m
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 88,29 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·1,5 = 3 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3·3 = 88,29 kN
Réponse
F = 88,29 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 67,87 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m
A = H·b = 1,5·2 = 3 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·2,25·3 = 67,87 kN
Réponse
F = 67,87 kN
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: p2 = 167 kPa
Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.
Continuité et Bernoulli
Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,75·(150/75)² = 7 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,75² − 7²)/1000 = −22,97 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 190 + (−22,97) = 167 kPa
Réponse
p2 = 167 kPa
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: H = 13,05 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Vitesse de sortie
β = 25/50 = 0,5
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·120000/(1000·0,9375)) = 16 m/s
Hauteur du jet
Bernoulli le long du jet : au sommet, la vitesse est nulle et la pression est de nouveau atmosphérique.
H = v2²/(2g) = 16²/(2·9,81) = 13,05 m
Réponse
H = 13,05 m
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Δp = 59,4 kPa
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Perte de charge
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(500/0,3)·1,8²/(2·9,81) = 6,055 m
Chute de pression
La conduite est horizontale et la vitesse ne change pas ; l’équation de l’énergie se réduit donc à Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·6,055 = 59400 Pa = 59,4 kPa
Réponse
Δp = 59,4 kPa
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Δz = 1,502 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse
V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s
V²/(2g) = 0,05288 m
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,015·400/0,25 = 24
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4
Perte de charge totale
hf = 24·0,05288 = 1,269 m
hm = 4,4·0,05288 = 0,2327 m
Δz = hf + hm = 1,502 m
Réponse
Δz = 1,502 m
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pshaft = 19,14 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·80 = 15,7 kW
Puissance sur l’arbre
Pshaft = Ph/η = 15,7/0,82 = 19,14 kW
Réponse
Pshaft = 19,14 kW
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: H = 62,72 m
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 6)·0,3305 = 6,941 m
Hauteur de pression
p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m
Hauteur manométrique de la pompe
Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 15 + 40,77 + 6,941 = 62,72 m
Réponse
H = 62,72 m
9.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: Q = 0,2024 m³/s
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = 0,3181 m², R = D/4 = 0,225 m
Vitesse
V = (1/0,013)·0,2252/3·0,00051/2 = 0,6363 m/s
Débit
Q = A·V = 0,3181·0,6363 = 0,2024 m³/s
Réponse
Q = 0,2024 m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: S = 0,001429 m/m
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Rayon hydraulique
R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m
Résoudre Manning pour S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,6/0,2064)² = 0,001429
Réponse
S = 0,001429
Cela correspond à une pente de 1,429 m par kilomètre.
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