Hydraulique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Écoulement à surface libre (Manning)

Formule de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Débit: Q = A·V
Rayon hydraulique: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectangle: A = b·y, P = b + 2y
Trapèze (fruit des berges z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine: R = D/4
Pente nécessaire: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de huile, avec son bord supérieur à 4 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 4 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuité et BernoulliMoyen

De l’eau s’écoule dans un venturimètre horizontal de diamètre d’entrée 150 mm et de diamètre au col 75 mm. La pression à l’entrée dépasse de 21 kPa celle au col. En négligeant les pertes, trouvez le débit Q.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ − p₂ = 21 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuité et BernoulliDifficile

Un réservoir d’eau fermé contient de l’air comprimé au-dessus de l’eau à une pression relative de 90 kPa. L’eau sort à l’air libre par un orifice de 50 mm de diamètre, situé 3,5 m sous la surface de l’eau. En négligeant les pertes, trouvez le débit Q. Prenez g = 9,81 m/s².

p_air = 90 kPa (relative)h = 3,5 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau (ρ = 1000 kg/m³) s’écoule à 2,4 m/s dans une conduite horizontale de 200 m de long et de diamètre intérieur 200 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 et g = 9,81 m/s². Trouvez la chute de pression Δp le long de la conduite, en kPa.

V = 2,4 m/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Une conduite de 100 m de long et de diamètre intérieur 250 mm (coefficient de frottement de Darcy f = 0,02) part d’un réservoir à l’air libre et débouche à l’air libre en jet. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 4 coudes (K = 0,3 chacun) et une vanne (K = 5). Prenez g = 9,81 m/s². De combien H la surface du réservoir doit-elle être au-dessus de la sortie de la conduite pour un débit de 120 L/s ?

Q = 120 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5

H = m

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Une pompe débite 50 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 48 m. Le rendement de la pompe est de 80 % et le moteur électrique qui l’entraîne a un rendement de 92 %. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance électrique P_el absorbée par le moteur, en kW.

Q = 50 L/sH = 48 mη_pump = 80%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 60 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 6 m plus haut. La conduite mesure 150 m de long, a un diamètre intérieur de 200 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,025 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 6 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 150 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.

Q = 60 L/sΔz = 6 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 6p_tank = 150 kPa

H = m

9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen

Un collecteur d’eaux pluviales en béton de diamètre intérieur 750 mm coule tout juste plein (en écoulement à surface libre, pas en charge). n de Manning = 0,013 et la pente vaut S = 0,004. Trouvez le débit Q en m³/s.

D = 750 mmn = 0,013S = 0,004

Q = m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile

Un canal trapézoïdal en terre enherbée de largeur au fond 5 m et de fruit des berges 2:1 (horizontal:vertical) doit transporter 14 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 1,4 m. n de Manning = 0,03. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).

Q = 14 m³/sb = 5 my = 1,4 mz = 2n = 0,03

S = m/m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 176,6 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·6 = 176,6 kN

Réponse

F = 176,6 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 226,6 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·5,25·5 = 226,6 kN

Réponse

F = 226,6 kN

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: Q = 29,57 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuité

v₁ = v₂·(75/150)² = 0,25·v₂

Bernoulli entre l’entrée et le col

La conduite est horizontale, donc seules la pression et la vitesse varient.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·21000/(1000·(1 − 0,0625))) = 6,693 m/s

v₁ = 1,673 m/s

Débit

Q = A₂·v₂ = 0,004418·6,693 = 0,02957 m³/s = 29,57 L/s

Réponse

Q = 29,57 L/s

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: Q = 30,96 L/s

Bernoulli de la surface au jet

v = √(2·(90000/1000 + 9,81·3,5)) = 15,77 m/s

Débit

Q = A·v = 0,001963·15,77 = 0,03096 m³/s = 30,96 L/s

Réponse

Q = 30,96 L/s

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Δp = 57,6 kPa

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Perte de charge

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(200/0,2)·2,4²/(2·9,81) = 5,872 m

Chute de pression

La conduite est horizontale et la vitesse ne change pas ; l’équation de l’énergie se réduit donc à Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·5,872 = 57600 Pa = 57,6 kPa

Réponse

Δp = 57,6 kPa

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: H = 4,782 m

Vitesse

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,02·100/0,25 = 8

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 = 6,7

Équation de l’énergie

Le jet de sortie emporte encore sa hauteur cinétique ; ce n’est pas une perte, mais elle doit être fournie.

H = (1 + 8 + 6,7)·0,3046 = 4,782 m

Réponse

H = 4,782 m

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_el = 31,99 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·48 = 23,54 kW

Puissance sur l’arbre

P_shaft = 23,54/0,8 = 29,43 kW

Puissance électrique

P_el = 29,43/0,92 = 31,99 kW

Réponse

P_el = 31,99 kW

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: H = 25,89 m

Vitesse

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18,75 + 6)·0,1859 = 4,601 m

Hauteur de pression

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

Hauteur manométrique de la pompe

Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 6 + 15,29 + 4,601 = 25,89 m

Réponse

H = 25,89 m

9.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: Q = 0,7041 m³/s

Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.

Géométrie

A = 0,4418 m², R = D/4 = 0,1875 m

Vitesse

V = (1/0,013)·0,1875^2/3·0,004^1/2 = 1,594 m/s

Débit

Q = A·V = 0,4418·1,594 = 0,7041 m³/s

Réponse

Q = 0,7041 m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: S = 0,001541 m/m

Géométrie

A = (b + z·y)·y = (5 + 2·1,4)·1,4 = 10,92 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1,4·√(1 + 2²) = 11,26 m

R = A/P = 0,9697 m

Résoudre Manning pour S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·14/(10,92·0,9797) = 0,03926

S = 0,03926² = 0,001541

Réponse

S = 0,001541

Cela correspond à une pente de 1,541 m par kilomètre.

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