Hydraulique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Écoulement à surface libre (Manning)

Formule de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Débit: Q = A·V
Rayon hydraulique: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectangle: A = b·y, P = b + 2y
Trapèze (fruit des berges z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine: R = D/4
Pente nécessaire: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 0,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 4 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 4 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuité et BernoulliMoyen

De l’eau s’écoule à 24 L/s dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 100 mm à 75 mm. La pression dans la partie étroite vaut 220 kPa. En négligeant les pertes, trouvez la pression p₁ dans la partie large.

Q = 24 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₂ = 220 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuité et BernoulliDifficile

Un venturimètre horizontal (entrée 250 mm, col 125 mm) est parcouru par de l’eau. Un manomètre différentiel en U à mercure relié entre l’entrée et le col indique une dénivellation de 60 mm. Le coefficient de débit vaut 0,96. Trouvez le débit Q. Prenez ρ = 1000 kg/m³ pour l’eau, 13 600 kg/m³ pour le mercure et g = 9,81 m/s².

d₁ = 250 mmd₂ = 125 mmΔh = 60 mmC_d = 0,96ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau s’écoule à une vitesse moyenne de 1,2 m/s dans une conduite de 50 m de long et de diamètre intérieur 150 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement h_f.

V = 1,2 m/sL = 50 mD = 150 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 150 m de long, de diamètre intérieur 100 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,02. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 4 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 2) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 12 L/s ?

Q = 12 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Une pompe débite 40 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 58 m. Le rendement de la pompe est de 72 % et le moteur électrique qui l’entraîne a un rendement de 94 %. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance électrique P_el absorbée par le moteur, en kW.

Q = 40 L/sH = 58 mη_pump = 72%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 80 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 17 m plus haut. La conduite mesure 600 m de long, a un diamètre intérieur de 200 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 6 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le rendement de la pompe est de 80 %. Trouvez la puissance sur l’arbre P_shaft en kW.

Q = 80 L/sΔz = 17 mL = 600 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 6η = 80%

P_shaft = kW

9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen

Un canal trapézoïdal en terre propre a une largeur au fond de 4 m et un fruit des berges de 2:1 (horizontal:vertical). L’eau s’écoule uniformément sur 2,5 m de profondeur. n de Manning = 0,022 et la pente du fond vaut S = 0,0005. Trouvez le débit Q en m³/s.

b = 4 my = 2,5 mz = 2n = 0,022S = 0,0005

Q = m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile

Un collecteur en béton de diamètre intérieur 200 mm (n de Manning = 0,013) doit atteindre une vitesse d’autocurage de 0,75 m/s lorsqu’il coule tout juste plein. Trouvez la pente minimale S (en m/m).

D = 200 mmn = 0,013V = 0,75 m/s

S = m/m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 18,39 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,25·1,5 = 18,39 kN

Réponse

F = 18,39 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 485,6 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,5·9 = 485,6 kN

Réponse

F = 485,6 kN

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: p₁ = 230,1 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Vitesses

v₁ = Q/A₁ = 0,024/0,007854 = 3,056 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,024/0,004418 = 5,432 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 220 + ½·1000·(5,432² − 3,056²)/1000 = 220 + 10,09 = 230,1 kPa

Réponse

p₁ = 230,1 kPa

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: Q = 46,86 L/s

Différence de pression d’après le manomètre

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,06 = 7416 Pa

Vitesse au col

La continuité et Bernoulli donnent ensemble la vitesse idéale au col.

β = 125/250 = 0,5

v₂ = √(2·7416/(1000·(1 − 0,0625))) = 3,978 m/s

Débit réel

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,96·0,01227·3,978 = 0,04686 m³/s = 46,86 L/s

Réponse

Q = 46,86 L/s

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: h_f = 0,4893 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Hauteur cinétique

V²/(2g) = 1,2²/(2·9,81) = 0,07339 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(50/0,15)·1,2²/(2·9,81) = 0,4893 m

Réponse

h_f = 0,4893 m

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Δz = 4,129 m

Vitesse

V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,02·150/0,1 = 30

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Perte de charge totale

h_f = 30·0,119 = 3,569 m

h_m = 4,7·0,119 = 0,5592 m

Δz = h_f + h_m = 4,129 m

Réponse

Δz = 4,129 m

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_el = 33,63 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·58 = 22,76 kW

Puissance sur l’arbre

P_shaft = 22,76/0,72 = 31,61 kW

Puissance électrique

P_el = 31,61/0,94 = 33,63 kW

Réponse

P_el = 33,63 kW

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_shaft = 38,08 kW

Vitesse

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 6)·0,3305 = 21,81 m

Hauteur manométrique de la pompe

H = Δz + h_L = 17 + 21,81 = 38,81 m

Puissance sur l’arbre

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·38,81/0,8 = 38,08 kW

Réponse

P_shaft = 38,08 kW

9.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: Q = 29,73 m³/s

Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.

Géométrie

A = (b + z·y)·y = (4 + 2·2,5)·2,5 = 22,5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·2,5·√(1 + 2²) = 15,18 m

R = A/P = 1,482 m

Vitesse

V = (1/0,022)·1,482^2/3·0,0005^1/2 = 1,321 m/s

Débit

Q = A·V = 22,5·1,321 = 29,73 m³/s

Réponse

Q = 29,73 m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: S = 0,005161 m/m

Rayon hydraulique

R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m

Résoudre Manning pour S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,75/0,1357)² = 0,005161

Réponse

S = 0,005161

Cela correspond à une pente de 5,161 m par kilomètre.

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