Hydraulique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Écoulement à surface libre (Manning)

Formule de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Débit: Q = A·V
Rayon hydraulique: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectangle: A = b·y, P = b + 2y
Trapèze (fruit des berges z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine: R = D/4
Pente nécessaire: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 0,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 0,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de glycérine, avec son bord supérieur à 1 m sous la surface. Trouvez la profondeur y_cp du centre de poussée sous la surface.

d = 1 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuité et BernoulliMoyen

De l’eau s’écoule à 40 L/s dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 200 mm à 100 mm. La pression dans la partie étroite vaut 60 kPa. En négligeant les pertes, trouvez la pression p₁ dans la partie large.

Q = 40 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₂ = 60 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuité et BernoulliDifficile

Un tuyau de 32 mm de diamètre intérieur siphonne l’eau d’un réservoir ouvert. Le point le plus haut C du tuyau est à 3 m au-dessus de la surface de l’eau, et la sortie (à l’air libre) est à 4 m sous la surface de l’eau. Négligez les pertes et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le débit Q.

d = 32 mmz_C = +3 mz₂ = −4 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau s’écoule avec un débit de 50 L/s dans une conduite de 300 m de long et de diamètre intérieur 150 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,025 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement h_f.

Q = 50 L/sL = 300 mD = 150 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 300 m de long, de diamètre intérieur 150 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,015. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 4 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 5) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 60 L/s ?

Q = 60 L/sL = 300 mD = 150 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Lors d’un essai, une pompe débite 15 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 46 m tandis que son arbre absorbe 8 kW. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le rendement de la pompe η en pourcentage.

Q = 15 L/sH = 46 mP_shaft = 8 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 120 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 17 m plus haut. La conduite mesure 100 m de long, a un diamètre intérieur de 250 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,015 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 6 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.

Q = 120 L/sΔz = 17 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 6

H = m

9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen

Un canal trapézoïdal en béton lissé a une largeur au fond de 3,5 m et un fruit des berges de 1:1 (horizontal:vertical). L’eau s’écoule uniformément sur 1,9 m de profondeur. n de Manning = 0,012 et la pente du fond vaut S = 0,002. Trouvez le débit Q en m³/s.

b = 3,5 my = 1,9 mz = 1n = 0,012S = 0,002

Q = m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile

Un canal trapézoïdal en terre propre de largeur au fond 1 m et de fruit des berges 1:1 (horizontal:vertical) doit transporter 11 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 2,1 m. n de Manning = 0,022. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).

Q = 11 m³/sb = 1 my = 2,1 mz = 1n = 0,022

S = m/m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 14,71 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1·1,5 = 14,71 kN

Réponse

F = 14,71 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: y_cp = 1,556 m

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1,5·1,5 = 27,81 kN

Centre de poussée

La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1³/12 = 0,125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,5 + 0,125/(1,5·1,5) = 1,556 m

Réponse

y_cp = 1,556 m

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: p₁ = 72,16 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Vitesses

v₁ = Q/A₁ = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,04/0,007854 = 5,093 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 60 + ½·1000·(5,093² − 1,273²)/1000 = 60 + 12,16 = 72,16 kPa

Réponse

p₁ = 72,16 kPa

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: Q = 7,125 L/s

Vitesse dans le tuyau

La surface et la sortie sont toutes deux à l’air libre, donc les termes de pression s’annulent.

v = √(2g·4) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s

Débit

Q = A·v = 0,0008042·8,859 = 0,007125 m³/s = 7,125 L/s

Réponse

Q = 7,125 L/s

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: h_f = 20,4 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Vitesse moyenne

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

Hauteur cinétique

V²/(2g) = 2,829²/(2·9,81) = 0,408 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(300/0,15)·2,829²/(2·9,81) = 20,4 m

Réponse

h_f = 20,4 m

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Δz = 22,15 m

Vitesse

V = Q/A = 0,06/0,01767 = 3,395 m/s

V²/(2g) = 0,5876 m

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,015·300/0,15 = 30

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Perte de charge totale

h_f = 30·0,5876 = 17,63 m

h_m = 7,7·0,5876 = 4,524 m

Δz = h_f + h_m = 22,15 m

Réponse

Δz = 22,15 m

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: η = 84,61 %

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·46 = 6,769 kW

Rendement

η = P_h/P_shaft = 6,769/8 = 84,61%

Réponse

η = 84,61%

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: H = 20,66 m

Vitesse

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (6 + 6)·0,3046 = 3,655 m

Hauteur manométrique de la pompe

Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; les termes de pression et de vitesse disparaissent donc.

H = Δz + h_L = 17 + 3,655 = 20,66 m

Réponse

H = 20,66 m

9.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: Q = 42,12 m³/s

Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.

Géométrie

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 1·1,9)·1,9 = 10,26 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·1,9·√(1 + 1²) = 8,874 m

R = A/P = 1,156 m

Vitesse

V = (1/0,012)·1,156^2/3·0,002^1/2 = 4,105 m/s

Débit

Q = A·V = 10,26·4,105 = 42,12 m³/s

Réponse

Q = 42,12 m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: S = 0,001505 m/m

Géométrie

A = (b + z·y)·y = (1 + 1·2,1)·2,1 = 6,51 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·2,1·√(1 + 1²) = 6,94 m

R = A/P = 0,9381 m

Résoudre Manning pour S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·11/(6,51·0,9583) = 0,03879

S = 0,03879² = 0,001505

Réponse

S = 0,001505

Cela correspond à une pente de 1,505 m par kilomètre.

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