Hydraulique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Écoulement à surface libre (Manning)

Formule de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Débit: Q = A·V
Rayon hydraulique: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectangle: A = b·y, P = b + 2y
Trapèze (fruit des berges z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine: R = D/4
Pente nécessaire: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 2,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau de mer, avec son bord supérieur à 2 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 2 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuité et BernoulliMoyen

De l’eau s’écoule d’un grand réservoir ouvert par un orifice à arête vive de 40 mm de diamètre. Le niveau d’eau est maintenu à 2,5 m au-dessus de l’orifice et le coefficient de débit vaut 0,63. Trouvez le débit Q. Prenez g = 9,81 m/s².

d = 40 mmh = 2,5 mC_d = 0,63g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuité et BernoulliDifficile

Un réservoir d’eau fermé contient de l’air comprimé au-dessus de l’eau à une pression relative de 200 kPa. L’eau sort à l’air libre par un orifice de 50 mm de diamètre, situé 1 m sous la surface de l’eau. En négligeant les pertes, trouvez le débit Q. Prenez g = 9,81 m/s².

p_air = 200 kPa (relative)h = 1 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau (ρ = 1000 kg/m³) s’écoule à 2,4 m/s dans une conduite horizontale de 50 m de long et de diamètre intérieur 50 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,03 et g = 9,81 m/s². Trouvez la chute de pression Δp le long de la conduite, en kPa.

V = 2,4 m/sL = 50 mD = 50 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 400 m de long, de diamètre intérieur 300 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,015. La surface de l’eau du réservoir supérieur est 26 m plus haut que celle du réservoir inférieur. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 4 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 5) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le débit Q en L/s.

Δz = 26 mL = 400 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Une pompe débite 60 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 32 m. Le rendement de la pompe est de 82 % et le moteur électrique qui l’entraîne a un rendement de 90 %. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance électrique P_el absorbée par le moteur, en kW.

Q = 60 L/sH = 32 mη_pump = 82%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 40 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 6 m plus haut. La conduite mesure 150 m de long, a un diamètre intérieur de 200 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 5 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 150 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.

Q = 40 L/sΔz = 6 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 5p_tank = 150 kPa

H = m

9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen

Un canal rectangulaire en maçonnerie de briques mesure 5 m de large. L’eau s’écoule uniformément sur 2,4 m de profondeur. n de Manning = 0,015 et la pente du fond vaut S = 0,005. Trouvez le débit Q en m³/s.

b = 5 my = 2,4 mn = 0,015S = 0,005

Q = m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile

Un canal trapézoïdal en terre propre de largeur au fond 1 m et de fruit des berges 2:1 (horizontal:vertical) doit transporter 26 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 2,2 m. n de Manning = 0,022. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).

Q = 26 m³/sb = 1 my = 2,2 mz = 2n = 0,022

S = m/m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 137,3 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·4 = 137,3 kN

Réponse

F = 137,3 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 124,4 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2,75·4,5 = 124,4 kN

Réponse

F = 124,4 kN

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: Q = 5,545 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Vitesse idéale du jet

√(2gh) = √(2·9,81·2,5) = 7,004 m/s

Débit réel

Le coefficient de débit tient compte de la contraction du jet et du frottement sur l’arête.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,63·0,001257·7,004 = 0,005545 m³/s = 5,545 L/s

Réponse

Q = 5,545 L/s

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: Q = 40,22 L/s

Bernoulli de la surface au jet

v = √(2·(200000/1000 + 9,81·1)) = 20,48 m/s

Débit

Q = A·v = 0,001963·20,48 = 0,04022 m³/s = 40,22 L/s

Réponse

Q = 40,22 L/s

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Δp = 86,4 kPa

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Perte de charge

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(50/0,05)·2,4²/(2·9,81) = 8,807 m

Chute de pression

La conduite est horizontale et la vitesse ne change pas ; l’équation de l’énergie se réduit donc à Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·8,807 = 86400 Pa = 86,4 kPa

Réponse

Δp = 86,4 kPa

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Q = 303,3 L/s

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,015·400/0,3 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Équation de l’énergie

Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; tout Δz est donc perdu dans la conduite.

26 = (20 + 7,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·26/27,7) = 4,291 m/s

Débit

Q = V·π·D²/4 = 4,291·0,07069 = 0,3033 m³/s = 303,3 L/s

Réponse

Q = 303,3 L/s

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_el = 25,52 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·32 = 18,84 kW

Puissance sur l’arbre

P_shaft = 18,84/0,82 = 22,97 kW

Puissance électrique

P_el = 22,97/0,9 = 25,52 kW

Réponse

P_el = 25,52 kW

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: H = 22,94 m

Vitesse

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 5)·0,08263 = 1,653 m

Hauteur de pression

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

Hauteur manométrique de la pompe

Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 6 + 15,29 + 1,653 = 22,94 m

Réponse

H = 22,94 m

9.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: Q = 64,75 m³/s

Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.

Géométrie

A = b·y = 5·2,4 = 12 m²

P = b + 2y = 5 + 2·2,4 = 9,8 m

R = A/P = 1,224 m

Vitesse

V = (1/0,015)·1,224^2/3·0,005^1/2 = 5,395 m/s

Débit

Q = A·V = 12·5,395 = 64,75 m³/s

Réponse

Q = 64,75 m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: S = 0,002051 m/m

Géométrie

A = (b + z·y)·y = (1 + 2·2,2)·2,2 = 11,88 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·2,2·√(1 + 2²) = 10,84 m

R = A/P = 1,096 m

Résoudre Manning pour S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·26/(11,88·1,063) = 0,04529

S = 0,04529² = 0,002051

Réponse

S = 0,002051

Cela correspond à une pente de 2,051 m par kilomètre.

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