Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Hydraulique : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Écoulement à surface libre (Manning)
- Formule de Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Débit
- Q = A·V
- Rayon hydraulique
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rectangle
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapèze (fruit des berges z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine
- R = D/4
- Pente nécessaire
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 2 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau de mer, avec son bord supérieur à 1,5 m sous la surface. Trouvez la profondeur ycp du centre de poussée sous la surface.
d = 1,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuité et BernoulliMoyen
Un tube de Pitot statique dans une soufflerie indique une différence de 100 Pa entre la pression d’arrêt et la pression statique. La masse volumique de l’air vaut 1,2 kg/m³. Trouvez la vitesse de l’air v.
p0 − p = 100 Paρ = 1,2 kg/m³
v = m/s
4.Continuité et BernoulliDifficile
L’eau monte dans une conduite qui se rétrécit de 75 mm à 40 mm en s’élevant de 9 m. En section 1, la pression vaut 220 kPa et la vitesse 1,25 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p2 en section 2.
d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 220 kPav1 = 1,25 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau (ρ = 1000 kg/m³) s’écoule à 1,4 m/s dans une conduite horizontale de 400 m de long et de diamètre intérieur 250 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,018 et g = 9,81 m/s². Trouvez la chute de pression Δp le long de la conduite, en kPa.
V = 1,4 m/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 150 m de long, de diamètre intérieur 300 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,025. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 3 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 10) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 200 L/s ?
Q = 200 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Lors d’un essai, une pompe débite 50 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 70 m tandis que son arbre absorbe 41,9 kW. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le rendement de la pompe η en pourcentage.
Q = 50 L/sH = 70 mPshaft = 41,9 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 100 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 17 m plus haut. La conduite mesure 600 m de long, a un diamètre intérieur de 250 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,022 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.
Q = 100 L/sΔz = 17 mL = 600 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 8
H = m
9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen
Un canal trapézoïdal en gravier a une largeur au fond de 2 m et un fruit des berges de 2:1 (horizontal:vertical). L’eau s’écoule uniformément sur 0,9 m de profondeur. n de Manning = 0,025 et la pente du fond vaut S = 0,003. Trouvez le débit Q en m³/s.
b = 2 my = 0,9 mz = 2n = 0,025S = 0,003
Q = m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile
Un canal trapézoïdal en gravier de largeur au fond 4,5 m et de fruit des berges 1:1 (horizontal:vertical) doit transporter 43 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 2,3 m. n de Manning = 0,025. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).
Q = 43 m³/sb = 4,5 my = 2,3 mz = 1n = 0,025
S = m/m
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 60,7 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·2,25 = 60,7 kN
Réponse
F = 60,7 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: ycp = 2,042 m
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·2·1,5 = 30,17 kN
Centre de poussée
La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.
Ic = b·H³/12 = 1,5·1³/12 = 0,125 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 0,125/(2·1,5) = 2,042 m
Réponse
ycp = 2,042 m
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: v = 12,91 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Bernoulli jusqu’au point d’arrêt
L’écoulement s’arrête à l’extrémité du tube, donc son énergie cinétique apparaît sous forme de surpression.
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·100/1,2) = 12,91 m/s
Réponse
v = 12,91 m/s
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: p2 = 122,8 kPa
Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.
Continuité et Bernoulli
Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,25·(75/40)² = 4,395 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,25² − 4,395²)/1000 = −8,875 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 220 + (−8,875) − 88,29 = 122,8 kPa
Réponse
p2 = 122,8 kPa
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Δp = 28,22 kPa
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Perte de charge
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(400/0,25)·1,4²/(2·9,81) = 2,877 m
Chute de pression
La conduite est horizontale et la vitesse ne change pas ; l’équation de l’énergie se réduit donc à Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·2,877 = 28224 Pa = 28,22 kPa
Réponse
Δp = 28,22 kPa
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Δz = 10,16 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse
V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,025·150/0,3 = 12,5
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4
Perte de charge totale
hf = 12,5·0,408 = 5,1 m
hm = 12,4·0,408 = 5,06 m
Δz = hf + hm = 10,16 m
Réponse
Δz = 10,16 m
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: η = 81,95 %
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·70 = 34,34 kW
Rendement
η = Ph/Pshaft = 34,34/41,9 = 81,95%
Réponse
η = 81,95%
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: H = 29,86 m
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (52,8 + 8)·0,2115 = 12,86 m
Hauteur manométrique de la pompe
Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; les termes de pression et de vitesse disparaissent donc.
H = Δz + hL = 17 + 12,86 = 29,86 m
Réponse
H = 29,86 m
9.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: Q = 5,137 m³/s
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = (b + z·y)·y = (2 + 2·0,9)·0,9 = 3,42 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·0,9·√(1 + 2²) = 6,025 m
R = A/P = 0,5676 m
Vitesse
V = (1/0,025)·0,56762/3·0,0031/2 = 1,502 m/s
Débit
Q = A·V = 3,42·1,502 = 5,137 m³/s
Réponse
Q = 5,137 m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: S = 0,002957 m/m
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = (b + z·y)·y = (4,5 + 1·2,3)·2,3 = 15,64 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·2,3·√(1 + 1²) = 11,01 m
R = A/P = 1,421 m
Résoudre Manning pour S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,025·43/(15,64·1,264) = 0,05438
S = 0,05438² = 0,002957
Réponse
S = 0,002957
Cela correspond à une pente de 2,957 m par kilomètre.
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