Investissements et évaluation : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Une carte de crédit applique un taux d’intérêt nominal de 20 % par an, capitalisé quotidienne. Trouvez le taux annuel effectif EAR en pourcentage.

r = 20%m = 365

EAR = %

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Un prêt de €200 000 est remboursé par mensualités constantes sur 15 ans à 3 % par an, capitalisé mensuellement. Quel montant total d’intérêts I est payé sur toute la durée du prêt ?

P = €200 0003% / 12N = 180

I = €

3.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 5% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 12 ans. Le taux de rendement actuariel est de 8% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 5%YTM = 8%n = 12

P = €

4.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation à 12 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 5%) se vend €1 145. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 3 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 050. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.

F = €1 000coupon = 5%P = €1 145prix de remboursement anticipé = €1 050remboursement anticipé dans 3 ans

YTC = %

5.CAPM et WACCMoyen

Une action de bêta 1,4 a un rendement exigé de 10,1%. Le taux sans risque est de 1%. Quel rendement attendu du marché r_m le CAPM implique-t-il ?

β = 1,4r_e = 10,1%r_f = 1%

r_m = %

6.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a des capitaux propres d’une valeur de marché de €8 000 000 et un coût des capitaux propres de 12%. Sa dette se compose de 8 000 obligations (valeur nominale €1 000, coupon annuel 6%, 12 ans jusqu’à l’échéance) qui cotent €1 043 chacune. Le taux d’imposition est de 25,8%. Trouvez le WACC en prenant le taux de rendement actuariel des obligations comme coût de la dette avant impôt.

E = €8 000 000r_e = 12%obligations: 8 000 × €1 043coupon = 6%n = 12T = 25,8%

WACC = %

7.VAN et TRIMoyen

Un investissement de €60 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €15 000, €29 000, €29 000. Le coût du capital est de 5 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 15 000CF₂ = 29 000CF₃ = 29 000

NPV = €

8.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €20 000 et rapporte €8 000, €13 000, €13 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 13 000CF₃ = 13 000

IRR = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: EAR = 22,13 %

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux par période

r/m = 0,2/365 = 0,0005479

Capitaliser sur un an

EAR = (1 + 0,0005479)³⁶⁵ − 1 = 1,221 − 1 = 22,13%

Réponse

EAR = 22,13%

Le taux annuel effectif est toujours supérieur au taux nominal quand les intérêts sont capitalisés plus d’une fois par an.

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: I = 48609 €

Mensualité

i = 0,0025, N = 180

A = 200 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻¹⁸⁰) = €1 381,16

Total des intérêts

I = N·A − P = 180·1381 − 200 000 = €48 609,39

Réponse

I = €48 609,39

3.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 771,3 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €25,00, i = 0,04, N = 24

Valeur actuelle des coupons

€25,00·(1 − 0,3901)/0,04 = €381,17

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,3901 = €390,12

Prix

P = €771,30

Réponse

P = €771,30

Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).

4.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTC = 1,646 %

Équation du rendement

1145 = 50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1050/(1 + y)³

Résoudre numériquement

y = 1%: €1 166,17

y = 2%: €1 133,63

YTC = 1,646%

Réponse

YTC = 1,646%

Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 3,5%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.

5.CAPM et WACC

Réponse: r_m = 7,5 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Prime de risque du marché

r_m − r_f = (10,1% − 1%)/1,4 = 6,5%

Rendement du marché

r_m = 1% + 6,5% = 7,5%

Réponse

r_m = 7,5%

6.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 7,958 %

Coût de la dette (YTM)

1043 = 60·(1 − (1 + y)⁻¹²)/y + 1000/(1 + y)¹²

y = 5,501%

Valeurs de marché

D = 8 000·€1 043 = €8 344 000

V = €16 344 000, E/V = 0,4895, D/V = 0,5105

WACC

WACC = 0,4895·12% + 0,5105·5,501%·(1 − 0,258) = 7,958%

Réponse

WACC = 7,958%

7.VAN et TRI

Réponse: NPV = 5641 €

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Valeur actuelle de chaque flux

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 15 000/1,05 = 14 285,71

CF₂/(1 + 0,05)² = 29 000/1,103 = 26 303,85

CF₃/(1 + 0,05)³ = 29 000/1,158 = 25 051,29

Additionner

NPV = €5 640,86

Réponse

NPV = €5 640,86

La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.

8.VAN et TRI

Réponse: IRR = 29,22 %

Encadrer le TRI

La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.

NPV(25%) = 1 376,00

NPV(30%) = −236,69

Resserrer

L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.

IRR ≈ 25 + 5·1 376,00/(1 376,00 − (−236,69)) = 29,27%

exact: NPV(29,22%) = 0 → IRR = 29,22%

Réponse

IRR = 29,22%

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