Investissements et évaluation : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Une annuité verse €8 000 à la fin de chaque année pendant 7 ans. Le taux d’intérêt est de 7 % par an. Trouvez la valeur actuelle PV de l’annuité.

A = €8 000i = 7%n = 7

PV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Tu épargnes €50 à la fin de chaque mois pendant 22 ans. Le compte rapporte 7,2 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.

A = €507,2% / 12N = 264

FV = €

3.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 2% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 12 ans. Le taux de rendement actuariel est de 5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 2%YTM = 5%n = 12

P = €

4.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation à 12 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 6%) se vend €1 242. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 5 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 060. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.

F = €1 000coupon = 6%P = €1 242prix de remboursement anticipé = €1 060remboursement anticipé dans 5 ans

YTC = %

5.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise est financée par des actions ordinaires valant €8 000 000, des actions privilégiées valant €500 000 et une dette valant €3 000 000. Le coût des capitaux propres est de 12%, le coût des actions privilégiées de 8% et le coût de la dette avant impôt de 3%. Le taux d’imposition est de 25,8%. Trouvez le WACC.

E = €8 000 000P_s = €500 000D = €3 000 000r_e = 12%r_p = 8%r_d = 3%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 2 000 000 actions à €13,50 chacune et 10 000 obligations cotées €960 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 7% et le taux d’imposition de 25%. Le bêta de l’action est de 1,1, le taux sans risque de 3,5% et la rentabilité du marché de 10%. Trouvez le WACC.

β = 1,1r_f = 3,5%r_m = 10%r_d = 7%T = 25%

WACC = %

7.VAN et TRIMoyen

Un projet coûte €30 000 aujourd’hui et rapporte €9 500 à la fin de chaque année pendant 4 ans. Le coût du capital est de 5 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.

r = 5%CF₀ = −30 000CF₁ = 9 500CF₂ = 9 500CF₃ = 9 500CF₄ = 9 500

DPB = ans

8.VAN et TRIDifficile

Le projet A coûte €10 000 et rapporte €6 000, €4 000, €2 000 à la fin des années 1 à 3. Le projet B coûte €12 000 et rapporte €3 500, €4 500, €7 000. Trouvez le taux d’indifférence r* pour lequel les deux projets ont la même VAN, en pourcentage.

A: −10 000, 6 000, 4 000, 2 000B: −12 000, 3 500, 4 500, 7 000

r* = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: PV = 43114 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Facteur d’annuité

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,6227)/0,07 = 5,389

Valeur actuelle

PV = 8 000·5,389 = €43 114,32

Réponse

PV = €43 114,32

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 32095 €

Taux mensuel et nombre de versements

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·22 = 264

Valeur future des versements

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(4,851 − 1)/0,006 = €32 094,98

Réponse

FV = €32 094,98

Tu as versé toi-même €13 200 ; le reste, ce sont des intérêts.

3.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 731,7 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €10,00, i = 0,025, N = 24

Valeur actuelle des coupons

€10,00·(1 − 0,5529)/0,025 = €178,85

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,5529 = €552,88

Prix

P = €731,73

Réponse

P = €731,73

Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).

4.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTC = 2,016 %

Équation du rendement

1242 = 60·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1060/(1 + y)⁵

Résoudre numériquement

y = 2%: €1 242,88

y = 3%: €1 189,15

YTC = 2,016%

Réponse

YTC = 2,016%

Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 3,496%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.

5.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 9,276 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = 8 000 000 + 500 000 + 3 000 000 = €11 500 000

E/V = 0,6957, P_s/V = 0,04348, D/V = 0,2609

WACC

WACC = 0,6957·12% + 0,04348·8% + 0,2609·3%·(1 − 0,258) = 9,276%

Réponse

WACC = 9,276%

6.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 9,234 %

Valeurs de marché

E = 2 000 000·€13,50 = €27 000 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,1·6,5% = 10,65%

Pondérations

V = €36 600 000, E/V = 0,7377, D/V = 0,2623

WACC

WACC = 0,7377·10,65% + 0,2623·7%·(1 − 0,25) = 9,234%

Réponse

WACC = 9,234%

7.VAN et TRI

Réponse: DPB = 3,528 ans

Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.

Flux actualisés et cumulés

année 1: 9 500/1,05 = 9 047,62 → Σ = 9 047,62

année 2: 9 500/1,103 = 8 616,78 → Σ = 17 664,40

année 3: 9 500/1,158 = 8 206,46 → Σ = 25 870,86

année 4: 9 500/1,216 = 7 815,67 → Σ = 33 686,53

Fraction de la dernière année

DPB = 3 + 4 129,14/7 815,67 = 3,528

Réponse

DPB = 3,528 ans

Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (3,158 ans).

8.VAN et TRI

Réponse: r* = 8,873 %

Taux d’indifférence : le taux d’actualisation pour lequel deux projets ont la même VAN. C’est le TRI de la différence de leurs flux (B − A). En dessous, le projet aux flux plus tardifs et plus importants a la VAN la plus élevée ; au-dessus, c’est l’autre qui l’emporte.

Différence des flux

ΔCF₀ = −12 000 − (−10 000) = −2 000

ΔCF₁ = 3 500 − 6 000 = −2 500

ΔCF₂ = 4 500 − 4 000 = 500

ΔCF₃ = 7 000 − 2 000 = 5 000

TRI de la différence

NPV_Δ(8%) = 83,02

NPV_Δ(9%) = −11,82

r* = 8,873%

Réponse

r* = 8,873%

Vérification : à 8,873%, les deux VAN valent €435,34.

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