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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Un bien immobilier devrait rapporter un loyer net de €2 000 l’année prochaine. Le loyer devrait croître de 1,5 % par an indéfiniment. Le rendement exigé est de 4,5 % par an. Trouvez la valeur PV du bien aujourd’hui.
C1 = €2 000g = 1,5%r = 4,5%
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €150 000 est remboursé par mensualités constantes sur 25 ans à 5,4 % par an, capitalisé mensuellement. Quel montant total d’intérêts I est payé sur toute la durée du prêt ?
P = €150 0005,4% / 12N = 300
I = €
3.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 4 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €894 quand le taux de rendement actuariel est de 5%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.
F = €1 000n = 4P = €894YTM = 5%
c = %
4.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 5% arrive à échéance dans 5 ans et se vend €1 070. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 5%n = 5P = €1 070
YTM = %
5.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres valant €10 000 000 et une dette valant €4 000 000. Son WACC est de 8,78%, son coût de la dette avant impôt de 4,5% et le taux d’imposition de 28%. Trouvez le coût des capitaux propres re.
Une entreprise a 2 000 000 actions à €50,50 chacune et 10 000 obligations cotées €1 000 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 4,5% et le taux d’imposition de 21%. Le bêta de l’action est de 1,3, le taux sans risque de 3% et la rentabilité du marché de 9,5%. Trouvez le WACC.
β = 1,3rf = 3%rm = 9,5%rd = 4,5%T = 21%
WACC = %
7.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €30 000 aujourd’hui, dure 8 ans et coûte €4 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 10 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €30 000M = €4 000n = 8r = 10%
EAC = €
8.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €10 000 et rapporte €7 500, €5 500 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −10 000CF1 = 7 500CF2 = 5 500
IRR = %
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 66667 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Mensualité
i = 0,0045, N = 300
A = 150 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)−300) = €912,19
Total des intérêts
I = N·A − P = 300·912,2 − 150 000 = €123 658,46
Réponse
I = €123 658,46
3.Prix et rendement des obligations
Réponse: c = 2,011 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Valeur actuelle du nominal
1000·(1 + 0,05)−4 = €822,70
Coupon
C = (894 − 822,70)/3,546 = €20,11
Taux du coupon
c = 20,11/1000 = 2,011%
Réponse
c = 2,011%
4.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 3,452 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 070 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Résoudre numériquement
P(3%) = €1 091,59, P(4%) = €1 044,52
YTM = 3,452%
Réponse
YTM = 3,452%
5.CAPM et WACC
Réponse: re = 11 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €14 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857
Part de la dette dans le WACC
0,2857·4,5%·(1 − 0,28) = 0,9257%
Coût des capitaux propres
re = (8,78% − 0,9257%)/0,7143 = 11%
Réponse
re = 11%
6.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 10,74 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,1−8)/0,1 = 5,335
Prix d’achat annualisé
30 000/5,335 = 5 623,32
EAC
EAC = 5 623,32 + 4 000 = €9 623,32
Réponse
EAC = €9 623,32
8.VAN et TRI
Réponse: IRR = 20,6 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(20%) = 69,44
NPV(25%) = −480,00
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.