Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.
1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Une carte de crédit applique un taux d’intérêt nominal de 24 % par an, capitalisé mensuellement. Trouvez le taux annuel effectif EAR en pourcentage.
r = 24%m = 12
EAR = %
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous empruntez €10 000 à 4,8 % par an, capitalisé mensuellement, et remboursez €300 à la fin de chaque mois. Combien de mois faut-il pour rembourser le prêt (le dernier versement peut être plus petit) ? Donnez le nombre de versements N.
P = €10 000A = €3004,8% / 12
N = versements
3.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 3% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 5 ans. Le taux de rendement actuariel est de 4% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 3%YTM = 4%n = 5
P = €
4.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation cote €975 avec un taux de rendement actuariel de 7% (capitalisation annuelle) et une duration de Macaulay de 7,9 ans. Utilisez la duration modifiée pour estimer le nouveau prix P si le rendement augmente de 75 points de base.
P0 = €975y = 7%D = 7,9Δy = +75 bp
P = €
5.CAPM et WACCMoyen
Une action de bêta 1,4 a un rendement exigé de 10,6%. Le taux sans risque est de 1,5%. Quel rendement attendu du marché rm le CAPM implique-t-il ?
β = 1,4re = 10,6%rf = 1,5%
rm = %
6.CAPM et WACCDifficile
Une entreprise a 4 000 000 actions cotant €35,50 ; la valeur comptable de ses capitaux propres est de €56 800 000. Elle vient de verser un dividende de €2,40 par action, et les dividendes croissent de 2% par an. Sa dette a une valeur de marché de €85 200 000 et un coût avant impôt de 6%. Le taux d’imposition est de 21%. Trouvez le WACC en utilisant le modèle de croissance des dividendes pour le coût des capitaux propres.
Un investissement de €60 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €12 000, €18 000, €21 000. Le coût du capital est de 12 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Le projet A coûte €40 000 et rapporte €22 500, €15 000, €8 500 à la fin des années 1 à 3. Le projet B coûte €42 000 et rapporte €10 500, €16 500, €23 000. Trouvez le taux d’indifférence r* pour lequel les deux projets ont la même VAN, en pourcentage.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux par période
r/m = 0,24/12 = 0,02
Capitaliser sur un an
EAR = (1 + 0,02)12 − 1 = 1,268 − 1 = 26,82%
Réponse
EAR = 26,82%
Le taux annuel effectif est toujours supérieur au taux nominal quand les intérêts sont capitalisés plus d’une fois par an.
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: N = 36 versements
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Réarranger la formule d’annuité
i = 0,004
(1 + i)−N = 1 − 10 000·0,004/300 = 0,8667
Résoudre avec les logarithmes
N = −ln(0,8667)/ln(1,004) = 35,85
Arrondir au nombre entier de versements supérieur
35 versements complets laissent un petit solde, que le dernier versement, plus petit, solde.
N = 36
Réponse
N = 36 versements
3.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 955,1 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €15,00, i = 0,02, N = 10
Valeur actuelle des coupons
€15,00·(1 − 0,8203)/0,02 = €134,74
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,8203 = €820,35
Prix
P = €955,09
Réponse
P = €955,09
Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).
4.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 921 €
Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modifiée
Dmod = 7,9/1,07 = 7,383
Variation de prix estimée
%ΔP ≈ −7,383·(0,0075) = −5,537%
P ≈ 975·(1 − 0,05537) = €921,01
Réponse
P = €921,01
La duration est une estimation linéaire ; pour de fortes variations de rendement, la convexité rend le vrai prix un peu plus élevé.
5.CAPM et WACC
Réponse: rm = 8 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Prime de risque du marché
rm − rf = (10,6% − 1,5%)/1,4 = 6,5%
Rendement du marché
rm = 1,5% + 6,5% = 8%
Réponse
rm = 8%
6.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,337 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 12 000/1,12 = 10 714,29
CF2/(1 + 0,12)2 = 18 000/1,254 = 14 349,49
CF3/(1 + 0,12)3 = 21 000/1,405 = 14 947,39
Additionner
NPV = €−19 988,84
Réponse
NPV = €−19 988,84
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
8.VAN et TRI
Réponse: r* = 6,729 %
Taux d’indifférence : le taux d’actualisation pour lequel deux projets ont la même VAN. C’est le TRI de la différence de leurs flux (B − A). En dessous, le projet aux flux plus tardifs et plus importants a la VAN la plus élevée ; au-dessus, c’est l’autre qui l’emporte.
Différence des flux
ΔCF0 = −42 000 − (−40 000) = −2 000
ΔCF1 = 10 500 − 22 500 = −12 000
ΔCF2 = 16 500 − 15 000 = 1 500
ΔCF3 = 23 000 − 8 500 = 14 500
TRI de la différence
NPVΔ(6%) = 188,72
NPVΔ(7%) = −68,48
r* = 6,729%
Réponse
r* = 6,729%
Vérification : à 6,729%, les deux VAN valent €1 240,90.