Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.
1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Une carte de crédit applique un taux d’intérêt nominal de 17,5 % par an, capitalisé quotidienne. Trouvez le taux annuel effectif EAR en pourcentage.
r = 17,5%m = 365
EAR = %
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €15 000 est remboursé par mensualités égales sur 5 ans. Le taux d'intérêt est de 3,6 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €15 0003,6% / 12N = 60
A = €
3.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 8% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 10 ans. Le taux de rendement actuariel est de 3% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 8%YTM = 3%n = 10
P = €
4.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4,5% et arrive à échéance dans 6 ans. Le taux de rendement actuariel est de 3%. Trouvez la duration de Macaulay D en années.
F = €1 000coupon = 4,5%n = 6YTM = 3%
D = ans
5.CAPM et WACCMoyen
Une action de bêta 0,6 a un rendement exigé de 6,4%. Le taux sans risque est de 4%. Quel rendement attendu du marché rm le CAPM implique-t-il ?
β = 0,6re = 6,4%rf = 4%
rm = %
6.CAPM et WACCDifficile
Une entreprise a 2 500 000 actions à €33,50 chacune et 10 000 obligations cotées €1 050 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 7% et le taux d’imposition de 28%. Le bêta de l’action est de 1,1, le taux sans risque de 2,5% et la rentabilité du marché de 7,5%. Trouvez le WACC.
β = 1,1rf = 2,5%rm = 7,5%rd = 7%T = 28%
WACC = %
7.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €30 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €11 000, €7 000, €14 000, €7 000. Le coût du capital est de 10 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Le projet A coûte €30 000 et rapporte €16 000, €12 500, €6 000 à la fin des années 1 à 3. Le projet B coûte €40 000 et rapporte €10 500, €15 500, €20 500. Trouvez le taux d’indifférence r* pour lequel les deux projets ont la même VAN, en pourcentage.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux par période
r/m = 0,175/365 = 0,0004795
Capitaliser sur un an
EAR = (1 + 0,0004795)365 − 1 = 1,191 − 1 = 19,12%
Réponse
EAR = 19,12%
Le taux annuel effectif est toujours supérieur au taux nominal quand les intérêts sont capitalisés plus d’une fois par an.
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: A = 273,5 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·5 = 60
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,8355
A = 15 000·0,003/(1 − 0,8355) = €273,55
Réponse
A = €273,55
3.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 1429 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €40,00, i = 0,015, N = 20
Valeur actuelle des coupons
€40,00·(1 − 0,7425)/0,015 = €686,75
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,7425 = €742,47
Prix
P = €1 429,22
Réponse
P = €1 429,22
Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).
4.Prix et rendement des obligations
Réponse: D = 5,417 ans
Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valeur actuelle de chaque flux
t = 1: 45/1,03 = 43,69, t·PV = 43,69
t = 2: 45/1,061 = 42,42, t·PV = 84,83
t = 3: 45/1,093 = 41,18, t·PV = 123,54
t = 4: 45/1,126 = 39,98, t·PV = 159,93
t = 5: 45/1,159 = 38,82, t·PV = 194,09
t = 6: 1045/1,194 = 875,17, t·PV = 5 251,03
Duration
P = 1 081,26
D = 5 857,11/1 081,26 = 5,417
Réponse
D = 5,417 ans
5.CAPM et WACC
Réponse: rm = 8 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Prime de risque du marché
rm − rf = (6,4% − 4%)/0,6 = 4%
Rendement du marché
rm = 4% + 4% = 8%
Réponse
rm = 8%
6.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,67 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Valeurs de marché
E = 2 500 000·€33,50 = €83 750 000
D = 10 000·€1 050 = €10 500 000
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 2,5% + 1,1·5% = 8%
Pondérations
V = €94 250 000, E/V = 0,8886, D/V = 0,1114
WACC
WACC = 0,8886·8% + 0,1114·7%·(1 − 0,28) = 7,67%
Réponse
WACC = 7,67%
7.VAN et TRI
Réponse: NPV = 1085 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 11 000/1,1 = 10 000,00
CF2/(1 + 0,1)2 = 7 000/1,21 = 5 785,12
CF3/(1 + 0,1)3 = 14 000/1,331 = 10 518,41
CF4/(1 + 0,1)4 = 7 000/1,464 = 4 781,09
Additionner
NPV = €1 084,63
Réponse
NPV = €1 084,63
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
8.VAN et TRI
Réponse: r* = 5,024 %
Taux d’indifférence : le taux d’actualisation pour lequel deux projets ont la même VAN. C’est le TRI de la différence de leurs flux (B − A). En dessous, le projet aux flux plus tardifs et plus importants a la VAN la plus élevée ; au-dessus, c’est l’autre qui l’emporte.
Différence des flux
ΔCF0 = −40 000 − (−30 000) = −10 000
ΔCF1 = 10 500 − 16 000 = −5 500
ΔCF2 = 15 500 − 12 500 = 3 000
ΔCF3 = 20 500 − 6 000 = 14 500
TRI de la différence
NPVΔ(5%) = 8,64
NPVΔ(6%) = −344,21
r* = 5,024%
Réponse
r* = 5,024%
Vérification : à 5,024%, les deux VAN valent €1 746,76.