Investissements et évaluation : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Une annuité verse €1 000 à la fin de chaque année pendant 18 ans. Le taux d’intérêt est de 10 % par an. Trouvez la valeur actuelle PV de l’annuité.

A = €1 000i = 10%n = 18

PV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Vous versez €2 500 au début de chaque année pendant 30 ans, le premier versement ayant lieu aujourd’hui. Le compte rapporte 8 % par an. Combien y a-t-il sur le compte à la fin de l’année 30 ? Trouvez FV.

A = €2 500i = 8%n = 30

FV = €

3.Prix et rendement des obligationsMoyen

Vous achetez une obligation à 7 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 4%) quand son taux de rendement actuariel est de 3%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 3,5%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.

F = €1 000coupon = 4%n = 7y₀ = 3%y₁ = 3,5%

HPR = %

4.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 7% arrive à échéance dans 3 ans et se vend €1 040. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.

F = €1 000coupon = 7%n = 3P = €1 040

YTM = %

5.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a des capitaux propres valant €3 000 000 et une dette valant €1 000 000. Son WACC est de 6,72%, son coût de la dette avant impôt de 4% et le taux d’imposition de 28%. Trouvez le coût des capitaux propres r_e.

E = €3 000 000D = €1 000 000WACC = 6,72%r_d = 4%T = 28%

r_e = %

6.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 5 000 000 actions à €33,00 chacune et 10 000 obligations cotées €980 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 5% et le taux d’imposition de 21%. Le bêta de l’action est de 1,3, le taux sans risque de 3,5% et la rentabilité du marché de 9,5%. Trouvez le WACC.

β = 1,3r_f = 3,5%r_m = 9,5%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

7.VAN et TRIMoyen

Un investissement de €60 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €18 000, €27 000, €30 000, €22 000. Le coût du capital est de 7,000000000000001 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −60 000CF₁ = 18 000CF₂ = 27 000CF₃ = 30 000CF₄ = 22 000

NPV = €

8.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €100 000 aujourd’hui. Son flux vaut €12 000 à la fin de l’année 1 et croît de 2 % par an jusqu’au dernier flux à la fin de l’année 10. Le coût du capital est de 10 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €12 000g = 2%n = 10r = 10%

NPV = €

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: PV = 8201 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Facteur d’annuité

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,1799)/0,1 = 8,201

Valeur actuelle

PV = 1 000·8,201 = €8 201,41

Réponse

PV = €8 201,41

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 305865 €

Facteur d’annuité ordinaire

((1 + 0,08)³⁰ − 1)/0,08 = 113,3

Annuité de début de période

Chaque versement est placé un an de plus.

FV = 2 500·113,3·1,08 = €305 864,67

Réponse

FV = €305 864,67

3.Prix et rendement des obligations

Réponse: HPR = 0,4085 %

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Prix d’achat

C = €40,00, i = 0,03, N = 7

€40,00·(1 − 0,8131)/0,03 + €1 000·0,8131 = €249,21 + €813,09 = €1 062,30

Prix de vente

C = €40,00, i = 0,035, N = 6

€40,00·(1 − 0,8135)/0,035 + €1 000·0,8135 = €213,14 + €813,50 = €1 026,64

Rendement sur la période de détention

HPR = (40 + 1 026,64 − 1 062,30)/1 062,30 = 0,4085%

Réponse

HPR = 0,4085%

4.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTM = 5,517 %

Équation du rendement

€1 040 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Résoudre numériquement

P(5%) = €1 054,46, P(6%) = €1 026,73

YTM = 5,517%

Réponse

YTM = 5,517%

5.CAPM et WACC

Réponse: r_e = 8 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

Part de la dette dans le WACC

0,25·4%·(1 − 0,28) = 0,72%

Coût des capitaux propres

r_e = (6,72% − 0,72%)/0,75 = 8%

Réponse

r_e = 8%

6.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 10,89 %

Valeurs de marché

E = 5 000 000·€33,00 = €165 000 000

D = 10 000·€980 = €9 800 000

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,3·6% = 11,3%

Pondérations

V = €174 800 000, E/V = 0,9439, D/V = 0,05606

WACC

WACC = 0,9439·11,3% + 0,05606·5%·(1 − 0,21) = 10,89%

Réponse

WACC = 10,89%

7.VAN et TRI

Réponse: NPV = 21678 €

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Valeur actuelle de chaque flux

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 18 000/1,07 = 16 822,43

CF₂/(1 + 0,07)² = 27 000/1,145 = 23 582,85

CF₃/(1 + 0,07)³ = 30 000/1,225 = 24 488,94

CF₄/(1 + 0,07)⁴ = 22 000/1,311 = 16 783,69

Additionner

NPV = €21 677,91

Réponse

NPV = €21 677,91

La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.

8.VAN et TRI

Réponse: NPV = −20496 €

Valeur actuelle de l’annuité croissante

((1,02)/(1,1))¹⁰ = 0,47

PV = 12 000/(0,1 − 0,02)·(1 − 0,47) = 79 503,73

NPV

NPV = 79 503,73 − 100 000 = −€20 496,27

Réponse

NPV = −€20 496,27

La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.

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