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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Tu places €5 000 à un taux nominal de 3,6 % par an, capitalisés trimestriellement. Calcule la valeur FV du placement après 7 ans.
PV = €5 0003,6% / 4n = 7
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous empruntez €25 000 à 5,4 % par an, capitalisé mensuellement, et remboursez €425 à la fin de chaque mois. Combien de mois faut-il pour rembourser le prêt (le dernier versement peut être plus petit) ? Donnez le nombre de versements N.
P = €25 000A = €4255,4% / 12
N = versements
3.Prix et rendement des obligationsMoyen
Vous achetez une obligation à 5 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 4%) quand son taux de rendement actuariel est de 3,5%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 5%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.
F = €1 000coupon = 4%n = 5y0 = 3,5%y1 = 5%
HPR = %
4.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 3% et arrive à échéance dans 3 ans. Le taux de rendement actuariel est de 3,5%. Trouvez la duration de Macaulay D en années.
F = €1 000coupon = 3%n = 3YTM = 3,5%
D = ans
5.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €2 000 000 et une dette de €6 000 000. Son coût des capitaux propres est de 12%, son coût de la dette avant impôt de 7% et le taux d’imposition de 20%. Trouvez le WACC.
L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 0,9. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 0,5. Le taux d’imposition est de 28%, le taux sans risque de 1,5% et la prime de risque du marché de 6%. Trouvez le coût des capitaux propres re avec la nouvelle structure du capital.
βU = 0,9D/E = 0,5T = 28%rf = 1,5%rm − rf = 6%
re = %
7.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €20 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €5 000, €9 000, €8 000. Le coût du capital est de 6 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €25 000 et rapporte €18 000, €13 000 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −25 000CF1 = 18 000CF2 = 13 000
IRR = %
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 6426 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Réarranger la formule d’annuité
i = 0,0045
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,0045/425 = 0,7353
Résoudre avec les logarithmes
N = −ln(0,7353)/ln(1,004) = 68,48
Arrondir au nombre entier de versements supérieur
68 versements complets laissent un petit solde, que le dernier versement, plus petit, solde.
N = 69
Réponse
N = 69 versements
3.Prix et rendement des obligations
Réponse: HPR = −1,764 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valeur actuelle de chaque flux
t = 1: 30/1,035 = 28,99, t·PV = 28,99
t = 2: 30/1,071 = 28,01, t·PV = 56,01
t = 3: 1030/1,109 = 929,00, t·PV = 2 787,00
Duration
P = 985,99
D = 2 872,00/985,99 = 2,913
Réponse
D = 2,913 ans
5.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,2 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €8 000 000, E/V = 0,25, D/V = 0,75
WACC
WACC = 0,25·12% + 0,75·7%·(1 − 0,2) = 7,2%
Réponse
WACC = 7,2%
6.CAPM et WACC
Réponse: re = 8,844 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Bêta endetté
βL = 0,9·(1 + 0,72·0,5) = 1,224
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 1,5% + 1,224·6% = 8,844%
Réponse
re = 8,844%
7.VAN et TRI
Réponse: NPV = −556,1 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 5 000/1,06 = 4 716,98
CF2/(1 + 0,06)2 = 9 000/1,124 = 8 009,97
CF3/(1 + 0,06)3 = 8 000/1,191 = 6 716,95
Additionner
NPV = €−556,10
Réponse
NPV = €−556,10
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
8.VAN et TRI
Réponse: IRR = 16,6 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(15%) = 482,04
NPV(20%) = −972,22
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.