Investissements et évaluation : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Vous placez €20 000 à 2 % par an avec capitalisation continue. Trouvez la valeur FV au bout de 15 ans.

PV = €20 000r = 2%t = 15

FV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Vous versez €2 000 au début de chaque année pendant 16 ans, le premier versement ayant lieu aujourd’hui. Le compte rapporte 8 % par an. Combien y a-t-il sur le compte à la fin de l’année 16 ? Trouvez FV.

A = €2 000i = 8%n = 16

FV = €

3.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 7% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 12 ans. Le taux de rendement actuariel est de 6% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 7%YTM = 6%n = 12

P = €

4.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 5% arrive à échéance dans 4 ans et se vend €1 035. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.

F = €1 000coupon = 5%n = 4P = €1 035

YTM = %

5.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise est financée par des actions ordinaires valant €5 000 000, des actions privilégiées valant €1 000 000 et une dette valant €4 000 000. Le coût des capitaux propres est de 13%, le coût des actions privilégiées de 8% et le coût de la dette avant impôt de 4,5%. Le taux d’imposition est de 25,8%. Trouvez le WACC.

E = €5 000 000P_s = €1 000 000D = €4 000 000r_e = 13%r_p = 8%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 2 500 000 actions à €56,50 chacune et 40 000 obligations cotées €1 000 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 3,5% et le taux d’imposition de 21%. Le bêta de l’action est de 1,5, le taux sans risque de 2% et la rentabilité du marché de 8,5%. Trouvez le WACC.

β = 1,5r_f = 2%r_m = 8,5%r_d = 3,5%T = 21%

WACC = %

7.VAN et TRIMoyen

Un projet coûte €20 000 aujourd’hui et rapporte €7 500 à la fin de chaque année pendant 4 ans. Le coût du capital est de 8 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 500CF₂ = 7 500CF₃ = 7 500CF₄ = 7 500

DPB = ans

8.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €25 000 et rapporte €14 000, €9 500, €15 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

CF₀ = −25 000CF₁ = 14 000CF₂ = 9 500CF₃ = 15 000

IRR = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 26997 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Exposant

r·t = 0,02·15 = 0,3

e^0,3 = 1,35

Valeur future

FV = 20 000·1,35 = €26 997,18

Réponse

FV = €26 997,18

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 65500 €

Facteur d’annuité ordinaire

((1 + 0,08)¹⁶ − 1)/0,08 = 30,32

Annuité de début de période

Chaque versement est placé un an de plus.

FV = 2 000·30,32·1,08 = €65 500,45

Réponse

FV = €65 500,45

3.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 1085 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €35,00, i = 0,03, N = 24

Valeur actuelle des coupons

€35,00·(1 − 0,4919)/0,03 = €592,74

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,4919 = €491,93

Prix

P = €1 084,68

Réponse

P = €1 084,68

Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).

4.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTM = 4,035 %

Équation du rendement

€1 035 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

Résoudre numériquement

P(4%) = €1 036,30, P(5%) = €1 000,00

YTM = 4,035%

Réponse

YTM = 4,035%

5.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 8,636 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = 5 000 000 + 1 000 000 + 4 000 000 = €10 000 000

E/V = 0,5, P_s/V = 0,1, D/V = 0,4

WACC

WACC = 0,5·13% + 0,1·8% + 0,4·4,5%·(1 − 0,258) = 8,636%

Réponse

WACC = 8,636%

6.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 9,767 %

Valeurs de marché

E = 2 500 000·€56,50 = €141 250 000

D = 40 000·€1 000 = €40 000 000

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 2% + 1,5·6,5% = 11,75%

Pondérations

V = €181 250 000, E/V = 0,7793, D/V = 0,2207

WACC

WACC = 0,7793·11,75% + 0,2207·3,5%·(1 − 0,21) = 9,767%

Réponse

WACC = 9,767%

7.VAN et TRI

Réponse: DPB = 3,122 ans

Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.

Flux actualisés et cumulés

année 1: 7 500/1,08 = 6 944,44 → Σ = 6 944,44

année 2: 7 500/1,166 = 6 430,04 → Σ = 13 374,49

année 3: 7 500/1,26 = 5 953,74 → Σ = 19 328,23

année 4: 7 500/1,36 = 5 512,72 → Σ = 24 840,95

Fraction de la dernière année

DPB = 3 + 671,77/5 512,72 = 3,122

Réponse

DPB = 3,122 ans

Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (2,667 ans).

8.VAN et TRI

Réponse: IRR = 24,89 %

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Encadrer le TRI

La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.

NPV(20%) = 1 944,44

NPV(25%) = −40,00

Resserrer

L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.

IRR ≈ 20 + 5·1 944,44/(1 944,44 − (−40,00)) = 24,9%

exact: NPV(24,89%) = 0 → IRR = 24,89%

Réponse

IRR = 24,89%

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