Investissements et évaluation : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercices Retour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Une annuité verse €500 à la fin de chaque année pendant 19 ans. Le taux d’intérêt est de 10 % par an. Trouvez la valeur actuelle PV de l’annuité.

A = €500i = 10%n = 19

PV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Un prêt de €150 000 est remboursé par mensualités égales sur 30 ans. Le taux d'intérêt est de 5,4 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.

P = €150 0005,4% / 12N = 360

A = €

3.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 13 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €684 quand le taux de rendement actuariel est de 8%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.

F = €1 000n = 13P = €684YTM = 8%

c = %

4.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation à 19 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 5%) se vend €1 374. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 6 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 050. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.

F = €1 000coupon = 5%P = €1 374prix de remboursement anticipé = €1 050remboursement anticipé dans 6 ans

YTC = %

5.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a des capitaux propres valant €5 000 000 et une dette valant €3 000 000. Son WACC est de 6,98%, son coût de la dette avant impôt de 4,5% et le taux d’imposition de 20%. Trouvez le coût des capitaux propres r_e.

E = €5 000 000D = €3 000 000WACC = 6,98%r_d = 4,5%T = 20%

r_e = %

6.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 2 000 000 actions à €37,50 chacune et 10 000 obligations cotées €980 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 7% et le taux d’imposition de 25,8%. Le bêta de l’action est de 1,8, le taux sans risque de 2,5% et la rentabilité du marché de 7%. Trouvez le WACC.

β = 1,8r_f = 2,5%r_m = 7%r_d = 7%T = 25,8%

WACC = %

7.VAN et TRIMoyen

Un projet coûte €40 000 aujourd’hui et rapporte €16 000, €12 500, €10 500, €15 000 à la fin des années 1 à 4. Le coût du capital est de 5 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.

r = 5%CF₀ = −40 000CF₁ = 16 000CF₂ = 12 500CF₃ = 10 500CF₄ = 15 000

DPB = ans

8.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €25 000 et rapporte €18 000, €10 500 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 000CF₂ = 10 500

IRR = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: PV = 4182 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Facteur d’annuité

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,1635)/0,1 = 8,365

Valeur actuelle

PV = 500·8,365 = €4 182,46

Réponse

PV = €4 182,46

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: A = 842,3 €

Taux mensuel et nombre de mensualités

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·30 = 360

Mensualité

La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.

(1 + i)^−N = 0,1986

A = 150 000·0,0045/(1 − 0,1986) = €842,30

Réponse

A = €842,30

3.Prix et rendement des obligations

Réponse: c = 4,002 %

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Valeur actuelle du nominal

1000·(1 + 0,08)⁻¹³ = €367,70

Coupon

C = (684 − 367,70)/7,904 = €40,02

Taux du coupon

c = 40,02/1000 = 4,002%

Réponse

c = 4,002%

4.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTC = 50 %

Équation du rendement

1374 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1050/(1 + y)⁶

Résoudre numériquement

y = 50%: €183,40

YTC = 50%

Réponse

YTC = 50%

Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 2,503%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.

5.CAPM et WACC

Réponse: r_e = 9,008 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

Part de la dette dans le WACC

0,375·4,5%·(1 − 0,2) = 1,35%

Coût des capitaux propres

r_e = (6,98% − 1,35%)/0,625 = 9,008%

Réponse

r_e = 9,008%

6.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 9,975 %

Valeurs de marché

E = 2 000 000·€37,50 = €75 000 000

D = 10 000·€980 = €9 800 000

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,8·4,5% = 10,6%

Pondérations

V = €84 800 000, E/V = 0,8844, D/V = 0,1156

WACC

WACC = 0,8844·10,6% + 0,1156·7%·(1 − 0,258) = 9,975%

Réponse

WACC = 9,975%

7.VAN et TRI

Réponse: DPB = 3,353 ans

Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.

Flux actualisés et cumulés

année 1: 16 000/1,05 = 15 238,10 → Σ = 15 238,10

année 2: 12 500/1,103 = 11 337,87 → Σ = 26 575,96

année 3: 10 500/1,158 = 9 070,29 → Σ = 35 646,26

année 4: 15 000/1,216 = 12 340,54 → Σ = 47 986,80

Fraction de la dernière année

DPB = 3 + 4 353,74/12 340,54 = 3,353

Réponse

DPB = 3,353 ans

Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (3,067 ans).

8.VAN et TRI

Réponse: IRR = 10,14 %

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Encadrer le TRI

La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.

NPV(10%) = 41,32

NPV(15%) = −1 408,32

Resserrer

L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.

IRR ≈ 10 + 5·41,32/(41,32 − (−1 408,32)) = 10,14%

exact: NPV(10,14%) = 0 → IRR = 10,14%

Réponse

IRR = 10,14%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation