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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Un bien immobilier devrait rapporter un loyer net de €2 000 l’année prochaine. Le loyer devrait croître de 1,5 % par an indéfiniment. Le rendement exigé est de 7,5 % par an. Trouvez la valeur PV du bien aujourd’hui.
C1 = €2 000g = 1,5%r = 7,5%
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous empruntez €20 000 à 3,6 % par an, capitalisé mensuellement, et remboursez €325 à la fin de chaque mois. Combien de mois faut-il pour rembourser le prêt (le dernier versement peut être plus petit) ? Donnez le nombre de versements N.
P = €20 000A = €3253,6% / 12
N = versements
3.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 3% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 3 ans. Le taux de rendement actuariel est de 4% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 3%YTM = 4%n = 3
P = €
4.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 8% arrive à échéance dans 4 ans et se vend €1 050. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 8%n = 4P = €1 050
YTM = %
5.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €2 000 000 et une dette de €1 000 000. Son coût des capitaux propres est de 13%, son coût de la dette avant impôt de 5% et le taux d’imposition de 21%. Trouvez le WACC.
L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 1,2. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 1,5. Le taux d’imposition est de 25%, le taux sans risque de 1% et la prime de risque du marché de 4,5%. Trouvez le coût des capitaux propres re avec la nouvelle structure du capital.
βU = 1,2D/E = 1,5T = 25%rf = 1%rm − rf = 4,5%
re = %
7.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €30 000 aujourd’hui, dure 8 ans et coûte €5 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 6 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €30 000M = €5 000n = 8r = 6%
EAC = €
8.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €25 000 et rapporte €15 000, €15 000, €8 000 à la fin des années 1 à 3. Les flux peuvent être réinvestis au coût du capital de 12 %. Trouvez le taux de rendement interne modifié MIRR en pourcentage.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Réarranger la formule d’annuité
i = 0,003
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0,003/325 = 0,8154
Résoudre avec les logarithmes
N = −ln(0,8154)/ln(1,003) = 68,13
Arrondir au nombre entier de versements supérieur
68 versements complets laissent un petit solde, que le dernier versement, plus petit, solde.
N = 69
Réponse
N = 69 versements
3.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 972 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €15,00, i = 0,02, N = 6
Valeur actuelle des coupons
€15,00·(1 − 0,888)/0,02 = €84,02
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,888 = €887,97
Prix
P = €971,99
Réponse
P = €971,99
Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).
4.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 6,539 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 050 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Résoudre numériquement
P(6%) = €1 069,30, P(7%) = €1 033,87
YTM = 6,539%
Réponse
YTM = 6,539%
5.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 9,983 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €3 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·13% + 0,3333·5%·(1 − 0,21) = 9,983%
Réponse
WACC = 9,983%
6.CAPM et WACC
Réponse: re = 12,47 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Bêta endetté
βL = 1,2·(1 + 0,75·1,5) = 2,55
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 1% + 2,55·4,5% = 12,47%
Réponse
re = 12,47%
7.VAN et TRI
Réponse: EAC = 9831 €
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,06−8)/0,06 = 6,21
Prix d’achat annualisé
30 000/6,21 = 4 831,08
EAC
EAC = 4 831,08 + 5 000 = €9 831,08
Réponse
EAC = €9 831,08
8.VAN et TRI
Réponse: MIRR = 20,38 %
TRI modifié : capitalisez chaque encaissement jusqu’à la fin du projet au taux de réinvestissement (en général le coût du capital) pour obtenir la valeur terminale TV. Le TRIM est le taux qui transforme l’investissement initial en TV : MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.