Investissements et évaluation : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Tu as besoin de €50 000 dans 4 ans. Un compte rapporte 3 % par an, capitalisés trimestriellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.

FV = €50 0003% / 4n = 4

PV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Un prêt de €15 000 est remboursé par mensualités constantes sur 5 ans à 3,6 % par an, capitalisé mensuellement. Quel montant total d’intérêts I est payé sur toute la durée du prêt ?

P = €15 0003,6% / 12N = 60

I = €

3.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 2% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 11 ans. Le taux de rendement actuariel est de 6% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 2%YTM = 6%n = 11

P = €

4.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 4% arrive à échéance dans 3 ans et se vend €1 045. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.

F = €1 000coupon = 4%n = 3P = €1 045

YTM = %

5.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise est financée par des actions ordinaires valant €5 000 000, des actions privilégiées valant €1 000 000 et une dette valant €5 000 000. Le coût des capitaux propres est de 13%, le coût des actions privilégiées de 7% et le coût de la dette avant impôt de 5%. Le taux d’imposition est de 28%. Trouvez le WACC.

E = €5 000 000P_s = €1 000 000D = €5 000 000r_e = 13%r_p = 7%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

6.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 1 000 000 actions cotant €42,50 ; la valeur comptable de ses capitaux propres est de €17 000 000. Elle vient de verser un dividende de €1,70 par action, et les dividendes croissent de 4% par an. Sa dette a une valeur de marché de €12 800 000 et un coût avant impôt de 4%. Le taux d’imposition est de 21%. Trouvez le WACC en utilisant le modèle de croissance des dividendes pour le coût des capitaux propres.

N = 1 000 000P₀ = €42,50capitaux propres comptables = €17 000 000D₀ = €1,70g = 4%D = €12 800 000r_d = 4%T = 21%

WACC = %

7.VAN et TRIMoyen

Un investissement de €45 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €13 000, €12 000, €13 000, €9 000. Le coût du capital est de 8 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.

r = 8%CF₀ = −45 000CF₁ = 13 000CF₂ = 12 000CF₃ = 13 000CF₄ = 9 000

NPV = €

8.VAN et TRIDifficile

Le projet A coûte €10 000 et rapporte €6 000, €4 000, €2 500 à la fin des années 1 à 3. Le projet B coûte €15 000 et rapporte €4 000, €7 000, €8 500. Trouvez le taux d’indifférence r* pour lequel les deux projets ont la même VAN, en pourcentage.

A: −10 000, 6 000, 4 000, 2 500B: −15 000, 4 000, 7 000, 8 500

r* = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: PV = 44366 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux et nombre de périodes

i = 0,03/4 = 0,0075

N = 4·4 = 16

Valeur actuelle

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,127 = €44 365,88

Réponse

PV = €44 365,88

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: I = 1413 €

Mensualité

i = 0,003, N = 60

A = 15 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻⁶⁰) = €273,55

Total des intérêts

I = N·A − P = 60·273,5 − 15 000 = €1 412,91

Réponse

I = €1 412,91

3.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 681,3 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €10,00, i = 0,03, N = 22

Valeur actuelle des coupons

€10,00·(1 − 0,5219)/0,03 = €159,37

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,5219 = €521,89

Prix

P = €681,26

Réponse

P = €681,26

Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).

4.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTM = 2,427 %

Équation du rendement

€1 045 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Résoudre numériquement

P(2%) = €1 057,68, P(3%) = €1 028,29

YTM = 2,427%

Réponse

YTM = 2,427%

5.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 8,182 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = 5 000 000 + 1 000 000 + 5 000 000 = €11 000 000

E/V = 0,4545, P_s/V = 0,09091, D/V = 0,4545

WACC

WACC = 0,4545·13% + 0,09091·7% + 0,4545·5%·(1 − 0,28) = 8,182%

Réponse

WACC = 8,182%

6.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 7,003 %

Coût des capitaux propres

D₁ = 1,7·1,04 = €1,77

r_e = 1,768/42,5 + 0,04 = 8,16%

Valeurs de marché

E = 1 000 000·€42,50 = €42 500 000

V = €55 300 000, E/V = 0,7685, D/V = 0,2315

WACC

WACC = 0,7685·8,16% + 0,2315·4%·(1 − 0,21) = 7,003%

Réponse

WACC = 7,003%

7.VAN et TRI

Réponse: NPV = −5740 €

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Valeur actuelle de chaque flux

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 13 000/1,08 = 12 037,04

CF₂/(1 + 0,08)² = 12 000/1,166 = 10 288,07

CF₃/(1 + 0,08)³ = 13 000/1,26 = 10 319,82

CF₄/(1 + 0,08)⁴ = 9 000/1,36 = 6 615,27

Additionner

NPV = €−5 739,81

Réponse

NPV = €−5 739,81

La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.

8.VAN et TRI

Réponse: r* = 11,14 %

Taux d’indifférence : le taux d’actualisation pour lequel deux projets ont la même VAN. C’est le TRI de la différence de leurs flux (B − A). En dessous, le projet aux flux plus tardifs et plus importants a la VAN la plus élevée ; au-dessus, c’est l’autre qui l’emporte.

Différence des flux

ΔCF₀ = −15 000 − (−10 000) = −5 000

ΔCF₁ = 4 000 − 6 000 = −2 000

ΔCF₂ = 7 000 − 4 000 = 3 000

ΔCF₃ = 8 500 − 2 500 = 6 000

TRI de la différence

NPV_Δ(11%) = 20,21

NPV_Δ(12%) = −123,45

r* = 11,14%

Réponse

r* = 11,14%

Vérification : à 11,14%, les deux VAN valent €458,21.

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