Investissements et évaluation : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Vous placez €2 000 à 4 % par an avec capitalisation continue. Trouvez la valeur FV au bout de 15 ans.

PV = €2 000r = 4%t = 15

FV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Tu épargnes €500 à la fin de chaque mois pendant 9 ans. Le compte rapporte 7,2 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.

A = €5007,2% / 12N = 108

FV = €

3.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 8 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €968 quand le taux de rendement actuariel est de 5%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.

F = €1 000n = 8P = €968YTM = 5%

c = %

4.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 7% et arrive à échéance dans 3 ans. Le taux de rendement actuariel est de 4%. Trouvez la duration de Macaulay D en années.

F = €1 000coupon = 7%n = 3YTM = 4%

D = ans

5.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise est financée par des actions ordinaires valant €5 000 000, des actions privilégiées valant €500 000 et une dette valant €2 000 000. Le coût des capitaux propres est de 11%, le coût des actions privilégiées de 6,5% et le coût de la dette avant impôt de 4%. Le taux d’imposition est de 21%. Trouvez le WACC.

E = €5 000 000P_s = €500 000D = €2 000 000r_e = 11%r_p = 6,5%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

6.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 5 000 000 actions à €24,00 chacune et 10 000 obligations cotées €1 050 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 6% et le taux d’imposition de 25%. Le bêta de l’action est de 1,2, le taux sans risque de 2% et la rentabilité du marché de 6,5%. Trouvez le WACC.

β = 1,2r_f = 2%r_m = 6,5%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

7.VAN et TRIMoyen

Un projet coûte €40 000 aujourd’hui et rapporte €10 500, €13 500, €10 500, €12 500 à la fin des années 1 à 4. Le coût du capital est de 5 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.

r = 5%CF₀ = −40 000CF₁ = 10 500CF₂ = 13 500CF₃ = 10 500CF₄ = 12 500

DPB = ans

8.VAN et TRIDifficile

Le projet A coûte €30 000 et rapporte €16 000, €12 000, €7 000 à la fin des années 1 à 3. Le projet B coûte €35 000 et rapporte €9 500, €14 500, €18 000. Trouvez le taux d’indifférence r* pour lequel les deux projets ont la même VAN, en pourcentage.

A: −30 000, 16 000, 12 000, 7 000B: −35 000, 9 500, 14 500, 18 000

r* = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 3644 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Exposant

r·t = 0,04·15 = 0,6

e^0,6 = 1,822

Valeur future

FV = 2 000·1,822 = €3 644,24

Réponse

FV = €3 644,24

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 75668 €

Taux mensuel et nombre de versements

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·9 = 108

Valeur future des versements

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(1,908 − 1)/0,006 = €75 667,97

Réponse

FV = €75 667,97

Tu as versé toi-même €54 000 ; le reste, ce sont des intérêts.

3.Prix et rendement des obligations

Réponse: c = 4,505 %

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Valeur actuelle du nominal

1000·(1 + 0,05)⁻⁸ = €676,84

Coupon

C = (968 − 676,84)/6,463 = €45,05

Taux du coupon

c = 45,05/1000 = 4,505%

Réponse

c = 4,505%

4.Prix et rendement des obligations

Réponse: D = 2,816 ans

Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Valeur actuelle de chaque flux

t = 1: 70/1,04 = 67,31, t·PV = 67,31

t = 2: 70/1,082 = 64,72, t·PV = 129,44

t = 3: 1070/1,125 = 951,23, t·PV = 2 853,68

Duration

P = 1 083,25

D = 3 050,42/1 083,25 = 2,816

Réponse

D = 2,816 ans

5.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 8,609 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = 5 000 000 + 500 000 + 2 000 000 = €7 500 000

E/V = 0,6667, P_s/V = 0,06667, D/V = 0,2667

WACC

WACC = 0,6667·11% + 0,06667·6,5% + 0,2667·4%·(1 − 0,21) = 8,609%

Réponse

WACC = 8,609%

6.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 7,167 %

Valeurs de marché

E = 5 000 000·€24,00 = €120 000 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 2% + 1,2·4,5% = 7,4%

Pondérations

V = €130 500 000, E/V = 0,9195, D/V = 0,08046

WACC

WACC = 0,9195·7,4% + 0,08046·6%·(1 − 0,25) = 7,167%

Réponse

WACC = 7,167%

7.VAN et TRI

Réponse: DPB = 3,845 ans

Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.

Flux actualisés et cumulés

année 1: 10 500/1,05 = 10 000,00 → Σ = 10 000,00

année 2: 13 500/1,103 = 12 244,90 → Σ = 22 244,90

année 3: 10 500/1,158 = 9 070,29 → Σ = 31 315,19

année 4: 12 500/1,216 = 10 283,78 → Σ = 41 598,97

Fraction de la dernière année

DPB = 3 + 8 684,81/10 283,78 = 3,845

Réponse

DPB = 3,845 ans

Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (3,44 ans).

8.VAN et TRI

Réponse: r* = 7,376 %

Taux d’indifférence : le taux d’actualisation pour lequel deux projets ont la même VAN. C’est le TRI de la différence de leurs flux (B − A). En dessous, le projet aux flux plus tardifs et plus importants a la VAN la plus élevée ; au-dessus, c’est l’autre qui l’emporte.

Différence des flux

ΔCF₀ = −35 000 − (−30 000) = −5 000

ΔCF₁ = 9 500 − 16 000 = −6 500

ΔCF₂ = 14 500 − 12 000 = 2 500

ΔCF₃ = 18 000 − 7 000 = 11 000

TRI de la différence

NPV_Δ(7%) = 88,11

NPV_Δ(8%) = −143,02

r* = 7,376%

Réponse

r* = 7,376%

Vérification : à 7,376%, les deux VAN valent €962,92.

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