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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Tu places €5 000 à un taux nominal de 2 % par an, capitalisés trimestriellement. Calcule la valeur FV du placement après 10 ans.
PV = €5 0002% / 4n = 10
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous empruntez €5 000 à 7,2 % par an, capitalisé mensuellement, et remboursez €225 à la fin de chaque mois. Combien de mois faut-il pour rembourser le prêt (le dernier versement peut être plus petit) ? Donnez le nombre de versements N.
P = €5 000A = €2257,2% / 12
N = versements
3.Prix et rendement des obligationsMoyen
Vous achetez une obligation à 10 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 4,5%) quand son taux de rendement actuariel est de 6%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 5%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.
F = €1 000coupon = 4,5%n = 10y0 = 6%y1 = 5%
HPR = %
4.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 6% arrive à échéance dans 6 ans et se vend €1 075. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 6%n = 6P = €1 075
YTM = %
5.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €10 000 000 et une dette de €6 000 000. Son coût des capitaux propres est de 13%, son coût de la dette avant impôt de 6% et le taux d’imposition de 30%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 2 000 000 actions cotant €43,50 ; la valeur comptable de ses capitaux propres est de €52 200 000. Elle vient de verser un dividende de €2,40 par action, et les dividendes croissent de 3% par an. Sa dette a une valeur de marché de €52 200 000 et un coût avant impôt de 3%. Le taux d’imposition est de 21%. Trouvez le WACC en utilisant le modèle de croissance des dividendes pour le coût des capitaux propres.
Un investissement de €75 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €26 000, €30 000, €20 000. Le coût du capital est de 10 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Le projet A coûte €40 000 et rapporte €22 500, €16 000, €8 500 à la fin des années 1 à 3. Le projet B coûte €45 000 et rapporte €12 000, €18 000, €23 000. Trouvez le taux d’indifférence r* pour lequel les deux projets ont la même VAN, en pourcentage.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Réarranger la formule d’annuité
i = 0,006
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0,006/225 = 0,8667
Résoudre avec les logarithmes
N = −ln(0,8667)/ln(1,006) = 23,92
Arrondir au nombre entier de versements supérieur
23 versements complets laissent un petit solde, que le dernier versement, plus petit, solde.
N = 24
Réponse
N = 24 versements
3.Prix et rendement des obligations
Réponse: HPR = 13,47 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 075 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Résoudre numériquement
P(4%) = €1 104,84, P(5%) = €1 050,76
YTM = 4,544%
Réponse
YTM = 4,544%
5.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 9,7 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €16 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·13% + 0,375·6%·(1 − 0,3) = 9,7%
Réponse
WACC = 9,7%
6.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,315 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 26 000/1,1 = 23 636,36
CF2/(1 + 0,1)2 = 30 000/1,21 = 24 793,39
CF3/(1 + 0,1)3 = 20 000/1,331 = 15 026,30
Additionner
NPV = €−11 543,95
Réponse
NPV = €−11 543,95
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
8.VAN et TRI
Réponse: r* = 2,879 %
Taux d’indifférence : le taux d’actualisation pour lequel deux projets ont la même VAN. C’est le TRI de la différence de leurs flux (B − A). En dessous, le projet aux flux plus tardifs et plus importants a la VAN la plus élevée ; au-dessus, c’est l’autre qui l’emporte.
Différence des flux
ΔCF0 = −45 000 − (−40 000) = −5 000
ΔCF1 = 12 000 − 22 500 = −10 500
ΔCF2 = 18 000 − 16 000 = 2 000
ΔCF3 = 23 000 − 8 500 = 14 500
TRI de la différence
NPVΔ(2%) = 291,89
NPVΔ(3%) = −39,43
r* = 2,879%
Réponse
r* = 2,879%
Vérification : à 2,879%, les deux VAN valent €4 793,81.