Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale
σ = F/A
Déformation
ε = ΔL/L
Loi de Hooke
σ = E·ε
Allongement
ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique
εT = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement
τ = T·r/J
Arbre plein
J = πd⁴/32
Arbre creux
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion
φ = TL/(GJ)
Puissance
P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

  1. Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
  2. Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
  3. Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
  4. Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8

Méthode

  1. Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
  2. Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
  3. Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
  4. Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectangle
I = bh³/12
Théorème de Huygens
I = Ic + A·d²
Section composée
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre
C = (σx + σy)/2
Rayon
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Contraintes principales
σ1,2 = C ± R
Direction principale
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Facette inclinée
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Méthode

  1. Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
  2. Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
  4. Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée
δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis
δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout
δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposition
δ = δ1 + δ2

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen
P = ?12600 mm500 mmØ30Ø30δ = 0,4 mm

Une barre est faite d’un tronçon en acier (diamètre 30 mm, longueur 600 mm, E = 200 GPa) assemblé bout à bout avec un tronçon en laiton (diamètre 30 mm, longueur 500 mm, E = 100 GPa). Elle est fixée à une extrémité et tirée à l’autre. Trouvez la charge axiale P qui l’allonge de 0,4 mm au total.

tronçon 1: acier, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPatronçon 2: laiton, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm
P = kN
2.Contrainte et déformation axialesDifficile
Ø 30 mmAluminium1,5 mØ 16 mmCuivre2 mP = 80 kN

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 80 kNtronçon 1 : Ø30 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)tronçon 2 : Ø16 mm, 2 m, cuivre (E = 117 GPa)
δ = mm
3.Torsion des arbresMoyen
T = 400 N·md = 25 mmL = 0,5 mφ = ?

Un arbre plein en laiton est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 400 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsion des arbresDifficile
d = 25 mmT0​ = 250 N·mACBa = 1 mb = 2 m

Un arbre plein en aluminium de diamètre 25 mm est encastré dans des murs rigides à ses deux extrémités A et B. Un couple de 250 N·m est appliqué en C, à 1 m de A et 2 m de B. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τmax dans l’arbre.

d = 25 mmT0 = 250 N·ma = 1 mb = 2 m
τmax = MPa
5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
55 kN60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

55 kN @ 2 m60 kN @ 6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
15 kN10 kN15 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

15 kN @ 0 m10 kN @ 12 m15 kN @ 6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen
110500246xcotes en mm

Une section en I symétrique a des semelles de 110 mm de large et 24 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 500 mm et une âme de 6 mm d’épaisseur. Trouvez son module de flexion élastique Sx pour la flexion autour de l’axe horizontal x passant par le centre de gravité.

B = 110 mmH = 500 mmtf = 24 mmtw = 6 mm
Sx = × 10³ mm³
8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile
2404801210xM = 50 kN·mcotes en mm

Une section en I symétrique a des semelles de 240 mm de large et 12 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 480 mm et une âme de 10 mm d’épaisseur. Elle supporte un moment fléchissant de 50 kN·m autour de l’axe x. Trouvez la valeur absolue de la contrainte de flexion σj à la jonction de l’âme et de la semelle supérieure.

B = 240 mmH = 480 mmtf = 12 mmtw = 10 mmM = 50 kN·m
σj = MPa
9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen
σx​ = 60σy​ = −40τxy​ = 30MPa

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 60 MPa, σᵧ = −40 MPa et τₓᵧ = 30 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θp entre l’axe x et la direction de la plus grande contrainte principale, compris entre −90° et 90°.

σx = 60 MPaσy = −40 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile
σx​τxy​surface supérieure de l’arbre

Un arbre plein de diamètre 50 mm supporte un moment fléchissant de 200 N·m ainsi qu’un couple de 400 N·m. À la surface supérieure, où la contrainte de flexion est une traction maximale, trouvez la plus grande contrainte principale σ1.

d = 50 mmM = 200 N·mT = 400 N·m
σ1 = MPa
11.Flèche d’une poutreMoyen
P = 30 kNABδ1 m2 m

Une console de longueur L est encastrée en A et porte une charge ponctuelle P à une distance a = 1 m de A. Trouvez la flèche δB à l’extrémité libre B.

P = 30 kNa = 1 mL = 3 mE = 200 GPa (acier)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.Flèche d’une poutreDifficile
w = 2 kN/mABδ4,5 m

Une poutre en bois sur deux appuis, de section rectangulaire de 150 mm de large, porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Sa flèche à mi-portée ne doit pas dépasser portée/250. Trouvez la hauteur minimale hreq de la section.

w = 2 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (bois de structure)b = 150 mm
hreq = mm
13.Flambement des poteauxMoyen
PL = 3 md = 20 mmsection

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm
Pcr = kN
14.Flambement des poteauxDifficile
P = 75 kNL = 2 md = ?section

Un poteau plein circulaire de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 75 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 75 kNn = 2,5L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: P = 35,34 kN

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, Pi = P·EiAi/ΣEA, et σi = Ei·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Souplesses

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·706,9) = 7,074 × 10⁻⁶ mm/N

Charge

P = 0,4/1,132 × 10⁻⁵ = 35343 N = 35,34 kN

Réponse

P = 35,34 kN
2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 9,227 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 113,2 MPa
σ2 = 397,9 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ1 = σ1L1/E1 = 113,2·1500/70000 = 2,425 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 397,9·2000/117000 = 6,801 mm
δ = δ1 + δ2 = 9,227 mm

Réponse

δ = 9,227 mm
3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 7,662 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τmax = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(do⁴ − di⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 400·1000·500/(39000·38350) = 0,1337 rad
φ = 0,1337·180/π = 7,662°

Réponse

φ = 7,662°
4.Torsion des arbres

Réponse: τmax = 54,32 MPa

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τmax = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(do⁴ − di⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω. Quand les deux extrémités sont encastrées, la statique seule ne donne que TA + TB = T₀ ; la deuxième équation est la compatibilité (même rotation des deux parties à la section chargée).

Équilibre et compatibilité

TA + TB = 250
TA·a = TB·b
TA = 250·2/3 = 166,7 N·m
TB = 250·1/3 = 83,33 N·m

Contrainte de cisaillement maximale

Le plus grand des deux couples est déterminant (même diamètre).

τmax = 16·166667/(π·25³) = 54,32 MPa

Réponse

τmax = 54,32 MPa
5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: D (x = 6 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R1 = 75,83 kN, R2 = 39,17 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

MA = 0, MB = 151,7, MC = 193,3, MD = 235 kN·m, ME = 156,7, MF = 78,33, MG = 0

Réponse

Repère D: MD = 235 kN·m
6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: E (x = 8 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R1 = 18,33 kN, R2 = 21,67 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

MA = 0, MB = −30, MC = −23,33, MD = −16,67, ME = −40 kN·m, MF = −20, MG = 0

Réponse

Repère E: ME = −40 kN·m
7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: Sx = 1382 × 10³ mm³

Moment quadratique : pour un rectangle, par rapport à son propre axe passant par le centre de gravité, I = bh³/12, et par rapport à sa base bh³/3 (théorème de Huygens : I = Ic + A·d²). Un trou se traite en soustrayant son I, à condition que les deux parties soient rapportées au même axe. Le module de flexion élastique vaut S = I/c, où c est la distance à la fibre extrême.

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − tw) de large et hw = H − 2tf de haut, et sont rapportés à l’axe x.

hw = 500 − 2·24 = 452 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (110·500³ − 104·452³)/12
Ix = 3,455 × 10⁸ mm⁴

Module de flexion

c = H/2 = 250 mm
Sx = I/c = 3,455 × 10⁸/250
Sx = 1,382 × 10⁶ mm³ = 1382 × 10³ mm³

Réponse

Sx = 1382 × 10³ mm³
8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σj = 28,9 MPa

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − tw) de large et hw = H − 2tf de haut, et sont rapportés à l’axe x.

hw = 480 − 2·12 = 456 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (240·480³ − 230·456³)/12
Ix = 3,945 × 10⁸ mm⁴

Contrainte de flexion

y = 240 − 12 = 228 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·228/3,945 × 10⁸ = 28,9 MPa

Réponse

σj = 28,9 MPa
9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θp = 15,48 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

στxyCσ1​σ2​

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le point x se trouve à un angle 2θp de l’axe σ ; le quadrant découle des signes de σₓ − σᵧ et de τₓᵧ.

2θp = atan2(2·30, 60 − −40) = 30,96°

Angle sur l’élément

θp = 15,48°

Réponse

θp = 15,48°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ1 = 26,37 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Contraintes à la surface

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·50³) = 16,3 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·50³) = 16,3 MPa
στxyCσ1​σ2​

Cercle de Mohr

C = σ/2 = 8,149 MPa
R = √(8,149² + 16,3²) = 18,22 MPa
σ1 = C + R = 26,37 MPa
σ2 = C − R = −10,07 MPa

Réponse

σ1 = 26,37 MPa
11.Flèche d’une poutre

Réponse: δB = 3,509 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 30000 N, a = 1000 mm, L = 3000 mm
EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Flèche à l’extrémité libre

Flèche au droit de la charge plus la rotation au droit de la charge multipliée par la longueur restante.

δP = Pa³/(3EI) = 0,8772 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,001316 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 3,509 mm

Réponse

δB = 3,509 mm
12.Flèche d’une poutre

Réponse: hreq = 162,8 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Flèche admissible

δallow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

Moment quadratique nécessaire

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·4500⁴/(384·11000·18) = 5,393 × 10⁷ mm⁴

Hauteur requise

bh³/12 = Ireq → h = (12·5,393 × 10⁷/150)1/3 = 162,8 mm

Réponse

hreq = 162,8 mm

En pratique, choisissez la hauteur normalisée immédiatement supérieure à cette valeur.

13.Flambement des poteaux

Réponse: Pcr = 2,412 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Charge critique

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1500² = 2412 N = 2,412 kN

Réponse

Pcr = 2,412 kN
14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 57,37 mm

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Charge critique nécessaire

Pcr = n·P = 2,5·75000 = 187500 N
KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·187500·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 57,37 mm

Réponse

d = 57,37 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 97,6, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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