Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en cuivre sous l’effort axial.

P = 40 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 90 kNtronçon 1 : Ø30 mm, 0,5 m, laiton (E = 100 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 1 m, acier (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en laiton est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 400 N·md = 40 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 15 kW à 1800 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 75 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 15 kWN = 1800 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

60 kN @ 3 m4 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 2 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 4 mP = 20 kN à 2 mw = 4 kN/m de 0 à 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Un tube circulaire a un diamètre extérieur D = 180 mm et un diamètre intérieur d = 152 mm. Trouvez son rayon de giration r par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

D = 180 mmd = 152 mm

r = mm

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 20 kN·m. Trouvez la contrainte de flexion σ_bas au bord inférieur.

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 300 mmM = 20 kN·m

σ_bas = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 0 MPa, σᵧ = 90 MPa et τₓᵧ = 30 MPa (traction positive). L’élément est tourné de 35° dans le sens trigonométrique. Trouvez la contrainte normale σ_y′ sur les faces de l’élément tourné perpendiculaires à l’axe tourné y′.

σ_x = 0 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 35°

σ_y′ = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un point d’une plaque mince est en contraintes planes : σₓ = −70 MPa, σᵧ = 0 MPa et τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Le matériau a une limite d’élasticité de 300 MPa. Trouvez le coefficient de sécurité n vis-à-vis de la plastification selon le critère de Tresca (cisaillement maximal).

σ_x = −70 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −60 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δ_max, à mi-portée.

w = 20 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre encastrée-appuyée est encastrée en A et simplement appuyée en B. Elle porte une charge ponctuelle P à mi-portée. EI est constant. Trouvez la valeur absolue du moment fléchissant M_A à l’encastrement.

L = 3 mP = 35 kN à 1,5 m

M_A = kN·m

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (acier)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 0,5441 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 40·1000/314,2 = 127,3 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for cuivre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 127,3/117000 = 0,001088 = 1088 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,001088·500 mm = 0,5441 mm

Réponse

δ = 0,5441 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 286,5 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 127,3 MPa

σ₂ = 286,5 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 286,5 MPa

Réponse

σ_max = 286,5 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 1,871 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(39000·251327) = 0,03265 rad

φ = 0,03265·180/π = 1,871°

Réponse

φ = 1,871°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 17,55 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 15000/188,5 = 79,58 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·79577/(π·75)) = 17,55 mm

Réponse

d = 17,55 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: D (x = 3 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 37 kN, R₂ = 35 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 37, M_C = 72, M_D = 103 kN·m, M_E = 70, M_F = 35, M_G = 0

Réponse

Repère D: M_D = 103 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 28 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, appliquée en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·2 + 4·4·2

R_B = 72/4 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

Couper en x = 2 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 18·2 − 4·2·1 = 28 kN·m

Réponse

M_x = 28 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: r = 58,9 mm

Moment quadratique : pour un rectangle, par rapport à son propre axe passant par le centre de gravité, I = bh³/12, et par rapport à sa base bh³/3 (théorème de Huygens : I = I_c + A·d²). Un trou se traite en soustrayant son I, à condition que les deux parties soient rapportées au même axe. Le module de flexion élastique vaut S = I/c, où c est la distance à la fibre extrême. Le rayon de giration r = √(I/A) est la distance à laquelle toute l’aire donnerait le même I ; il sert au flambement des poteaux.

Aire nette et moment quadratique net

A = π(D² − d²)/4 = 7301 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 2,533 × 10⁷ mm⁴

Rayon de giration

r = √(I/A) = √(2,533 × 10⁷/7301) = 58,9 mm

Réponse

r = 58,9 mm

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_bas = 53,48 MPa

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 160·15 = 2400 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307,5 mm

âme: A_w = 16·300 = 4800 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·307,5 + 4800·150)/7200 = 202,5 mm

Théorème de Huygens

semelle: 160·15³/12 + 2400·(307,5 − 202,5)² = 2,651 × 10⁷ mm⁴

âme: 16·300³/12 + 4800·(150 − 202,5)² = 4,923 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,651 × 10⁷ + 4,923 × 10⁷ = 7,574 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord inférieur est à ȳ de l’axe.

y = 202,5 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·202,5/7,574 × 10⁷ = 53,48 MPa

Réponse

σ_bas = 53,48 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_y′ = 32,2 MPa

Formule de changement de repère pour la face y′

σ_y′ = 45 − (−45)·0,342 − 30·0,9397 = 32,2 MPa

Vérification

La somme des contraintes normales ne change pas avec la rotation.

σ_x′ = 57,8 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 90 = σ_x + σ_y

Réponse

σ_y′ = 32,2 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: n = 2,159

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Critères de plasticité : von Mises prévoit la plastification quand σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atteint σ_Y ; Tresca quand la contrainte de cisaillement maximale absolue atteint σ_Y/2.

Contraintes principales

C = −35 MPa, R = 69,46 MPa

σ₁ = 34,46 MPa, σ₂ = −104,5 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 138,9 MPa

n = 300/138,9 = 2,159

Réponse

n = 2,159

n > 1 signifie que le point ne se plastifie pas ; Tresca est un peu plus conservatif que von Mises.

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 13,1 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Flèche

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·3000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 13,1 mm

Réponse

δ_max = 13,1 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: M_A = 19,69 kN·m

Supprimer l’appui simple

Sans l’appui simple, la poutre est une console. Son extrémité libre fléchirait sous la charge.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilité à l’appui simple

La réaction R_B seule soulève l’extrémité libre de R_BL³/(3EI). L’appui maintient B à flèche nulle, donc les deux doivent s’annuler. EI se simplifie.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·35/16 = 10,94 kN

Moment à l’encastrement

Moments par rapport à A des charges et de la réaction de l’appui simple.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 52,5 − 32,81 = 19,69 kN·m

Réponse

M_A = 19,69 kN·m

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 36,26 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/3500² = 36256 N = 36,26 kN

Réponse

P_cr = 36,26 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 2,763 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/10 = 500

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/500² = 2,763 MPa

Réponse

σ_cr = 2,763 MPa

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