Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en acier sous l’effort axial.

P = 20 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

Une tige en acier (diamètre 20 mm, E = 200 GPa, contrainte admissible 120 MPa) se trouve à l’intérieur d’un tube en aluminium (diamètre extérieur 120 mm, diamètre intérieur 50 mm, E = 70 GPa, contrainte admissible 80 MPa). Ils sont comprimés ensemble entre des plaques rigides. Trouvez la plus grande charge P_max.

barre: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatube: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en aluminium est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 750 N·md = 50 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre creux transmet 30 kW à 750 tr/min. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

P = 30 kWN = 750 rpmd_o = 60 mmd_i = 36 mm

τ_max = MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

60 kN @ 8 m4 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie sur une partie de sa portée. Trouvez le moment fléchissant maximal M_max dans la poutre.

L = 6 mw = 20 kN/m de 1 à 4 m

M_max = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une plaque de 120 mm × 200 mm a un trou circulaire de diamètre 50 mm sur son axe vertical médian, dont le centre est à 140 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 120 mmh = 200 mmd = 50 mmcentre du trou: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 15 kN·m. Trouvez la valeur de la contrainte de flexion σ_haut au bord supérieur.

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 240 mmM = 15 kN·m

σ_haut = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 110 MPa, σᵧ = −20 MPa et τₓᵧ = −40 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_p entre l’axe x et la direction de la plus grande contrainte principale, compris entre −90° et 90°.

σ_x = 110 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 90 MPa, σᵧ = −20 MPa et τₓᵧ = −20 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 25° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x.

σ_x = 90 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur. Trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

w = 12 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (acier)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre encastrée-appuyée est encastrée en A et simplement appuyée en B. Elle porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur. EI est constant. Trouvez la réaction R_B à l’appui simple.

L = 3 mw = 5 kN/m

R_B = kN

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Il doit porter 95 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 95 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 1,326 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 20·1000/113,1 = 176,8 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for acier = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 176,8/200000 = 0,0008842 = 884,2 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,0008842·1500 mm = 1,326 mm

Réponse

δ = 1,326 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: P_max = 430,2 kN

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Rigidité axiale combinée

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·9346 = 7,171 × 10⁸ N

Déformation déterminante

ε = min(0,0006, 0,001143) = 0,0006 (acier)

Charge maximale

P_max = 0,0006·7,171 × 10⁸ = 430241 N = 430,2 kN

Réponse

P_max = 430,2 kN

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 5,387 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2000/(26000·613592) = 0,09402 rad

φ = 0,09402·180/π = 5,387°

Réponse

φ = 5,387°

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 10,35 MPa

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 30000/78,54 = 382 N·m

Moment quadratique polaire

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1,107 × 10⁶ mm⁴

Contrainte de cisaillement maximale

τ_max = T·(d_o/2)/J = 381972·30/1,107 × 10⁶ = 10,35 MPa

Réponse

τ_max = 10,35 MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: E (x = 8 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 34 kN, R₂ = 50 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 68, M_C = 128, M_D = 172, M_E = 200 kN·m, M_F = 100, M_G = 0

Réponse

Repère E: M_E = 200 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_max = 65,63 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 20·3 = 60 kN, appliquée en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·3·2,5

R_B = 150/6 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 25 = 35 kN

Effort tranchant nul

L’effort tranchant part de R_A, reste constant sur toute partie non chargée et décroît avec une pente w à l’intérieur de la charge.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 35/20 = 2,75 m

Moment maximal

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 35·2,75 − 20·1,75²/2 = 65,63 kN·m

Réponse

M_max = 65,63 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 76,27 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (24000·100 − 1963·140)/(24000 − 1963) = 96,44 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

120·200³/12 + 24000·3,564² = 80,3 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

π·50⁴/64 + 1963·43,56² = 4,033 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 76,27 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 76,27 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_haut = 25,81 MPa

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

âme: A_w = 12·240 = 2880 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·247,5 + 2880·120)/6180 = 188,1 mm

Théorème de Huygens

semelle: 220·15³/12 + 3300·(247,5 − 188,1)² = 1,171 × 10⁷ mm⁴

âme: 12·240³/12 + 2880·(120 − 188,1)² = 2,717 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,171 × 10⁷ + 2,717 × 10⁷ = 3,889 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord supérieur est à h − ȳ de l’axe.

y = 255 − 188,1 = 66,92 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·66,92/3,889 × 10⁷ = 25,81 MPa

Réponse

σ_haut = 25,81 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_p = −15,8 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le point x se trouve à un angle 2θp de l’axe σ ; le quadrant découle des signes de σₓ − σᵧ et de τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, 110 − −20) = −31,61°

Angle sur l’élément

θ_p = −15,8°

Réponse

θ_p = −15,8°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = 55,03 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = 35 + 55·0,6428 + −20·0,766 = 55,03 MPa

Réponse

σ_θ = 55,03 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ = 60,75 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 6000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Flèche

δ = wL⁴/(8EI) = 12·6000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 60,75 mm

Réponse

δ = 60,75 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: R_B = 5,625 kN

Supprimer l’appui simple

Sans l’appui simple, la poutre est une console. Son extrémité libre fléchirait sous la charge.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilité à l’appui simple

La réaction R_B seule soulève l’extrémité libre de R_BL³/(3EI). L’appui maintient B à flèche nulle, donc les deux doivent s’annuler. EI se simplifie.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·5·3/8 = 5,625 kN

Réponse

R_B = 5,625 kN

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 6,867 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·2000 = 2000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6,867 kN

Réponse

P_cr = 6,867 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 115 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2,5·95000 = 237500 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·237500·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 115 mm

Réponse

d = 115 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 173,9, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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